Prawdopodobieństwo trafienia do celu

[Carlj28]

1) Prawdopodobieństwo trafienia do celu w jednym rzucie wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{5}}\). Oblicz prawdopodobieństwo, że w piętnastu niezależnych rzutach:
(a) trafiono przynajmniej trzy razy do celu.
(b) trafiono przynajmniej trzy razy do celu, jeżeli okazało się, że dwa ostatnie rzuty są celne.
(c) trafiono przynajmniej trzy razy do celu, a dwa ostatnie rzuty były celne.

2) W koło wpisany jest kwadrat. Oblicz prawdopodobieństwo, że z 13 punktów rzuconych kolejno na
koło dokładnie 5 trafi w kwadrat.

Jak obliczyć te zadania?

[mateuszl95]

Aby łatwiej można to zrozumieć ustalmy, że trafienie do celu oznacza trafienie w dziesiątkę. Jeżeli ktoś nie trafi do celu może trafić w 4-kę, 3-kę, 2-kę lub 1-kę. Przy czym prawdopodobieństwo trafienia w 10,4,3,2,1 jest równe i prawdopodobieństwo nie trafienia w tarczę jest równe 0. Wówczas prawdopodobieństwo trafienia do celu, tzn. w 10-kę wynosi 1/5. 15 niezależnych rzutów:
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Przykład:
_ _ _ 10 _ _ _ 10 _ _ _ 10 _ _ _
2 3 4 10 2 3 1 10 4 2 3 10 1 1 2

W powyższym przykładzie trafiono dokładnie 3 razy w dziesiątkę. Każdy rzut daje 5 różnych, równo prawdopodobnych możliwości.

Załóżmy że najpierw "wstawiamy" 3 10-ki. Można to zrobić na \(\displaystyle{ {15 \choose 3}}\) możliwości.
Każde wstawienie można uzupełnić na różne sposoby, ponieważ każdy z pozostałych 12 rzutów zawiera po 4 możliwości, co łącznie daje: \(\displaystyle{ 4^{12}}\) możliwości.

Łącznie mamy możliwych sprzyjających zdarzeń: \(\displaystyle{ A={15 \choose 3} \cdot 4^{12}}\)

Ilość możliwych zdarzeń to oczywiście: \(\displaystyle{ \Omega = 5^{15}}\)

I mamy: \(\displaystyle{ P= \frac{A}{\Omega}}\)

Wytłumacz o co chodzi w podpunkcie b) i czym się różnią b i c bo nie widzę różnicy... jednak wydaje mi się że w c będzie:

\(\displaystyle{ A= {13 \choose 1} \cdot 4^{12}}\) oraz \(\displaystyle{ \Omega = 5^{15}}\) no i wtedy znów \(\displaystyle{ P= \frac{A}{\Omega}}\)

2. Średnica koła jest przekątną kwadratu:

\(\displaystyle{ d=a \sqrt{2} \Rightarrow a=r \sqrt{2}}\)

Pole kwadratu jest równe \(\displaystyle{ a^2=2r^2}\)

Pole koła oczywiście \(\displaystyle{ \pi r ^2}\)

Stosunek pola kwadratu do pola koła: \(\displaystyle{ \frac{2r^2}{\pi r^2}= \frac{2}{\pi}}\)

Nie wiem czy dobrze rozumiem, a przede wszystkim nie umiem dalszego postępowania wytłumaczyć , ale może uda Ci się samemu to rozpracować lub poprawić jeśli się mylę więc:

\(\displaystyle{ A= ({13 \choose 5} \cdot 2^5) \cdot (\pi-2)^{(13-5)} \\ \Omega= \pi^{13}}\)

No i \(\displaystyle{ P=\frac{A}{\Omega}}\)

Mniej więcej jest to tak jakbyś miał \(\displaystyle{ 100 \pi \approx 314}\) różnych zdarzeń na każdy rzut i \(\displaystyle{ 2 \cdot 100=200}\) z nich byłoby zdarzeń sprzyjających

[Carlj28]

Dziękuję za wyczerpującą odpowiedź

Niestety nie wiem też sam do końca jaka jest różnica w podpunktach b i c, przepisałem po prostu treść zadania, ono dla mnie też nie jest jasno skonstruowane.

[mat_61]

mateuszl95, to co napisałeś nie ma się nijak do treści zadania. W doświadczeniu nie ma żadnej tarczy podzielonej na pola itd.

1a. To jest klasyczny schemat Bernouliego z p-stwem sukcesu w jednej próbie równym \(\displaystyle{ p= \frac{1}{5}}\) Należy obliczyć p-stwo co najmniej trzech sukcesów przy piętnastu próbach. Dla zmniejszenia ilości obliczeń można skorzystać z p-stwa zdarzenia przeciwnego \(\displaystyle{ A'}\) - trafiono co najwyżej dwa razy do celu

1b,c Nie widzę żadnej różnicy pomiędzy treścią tych dwóch podpunktów. W obydwu przypadkach należy co najmniej raz trafić do celu na trzynaście prób.

2. To jest także schemat Bernouliego (pięć sukcesów w trzynastu próbach). Natomiast p-stwo sukcesu w jednej próbie obliczysz korzystając z p-stwa geometrycznego (jest ono równe stosunkowi pola kwadratu do pola koła)