Gdzie jest błąd? Podobne do zad. z "Idź na całość"

[Edward D]

W trzech pudełkach znajdują się po dwa pierścionki: w pierwszym
pudełku dwa złote, w drugim dwa miedziane, a w trzecim miedziany i złoty. Wy-
bieramy losowo jedno z pudełek i wyciągamy z niego losowo jeden z pierścionków,
bez możliwości sprawdzenia jaki jest drugi. Okazuje się, że wybraliśmy pierścionek
złoty. Przy drugim losowaniu chcemy także wyciągnąć złoty pierścionek. Czy po-
wnniśmy sięgnąć do innego pudełka, czy też może powinniśmy pobrać pierścionek
z tego samego pudełka?

Moje rozwiazanie:

Sytuacja wyglada tak: \(\displaystyle{ ZZ, MM, MZ}\).
Po wylosowaniu zlotego jest albo:

\(\displaystyle{ Z\left( \right) , MM, MZ}\)
\(\displaystyle{ \left( \right) Z, MM, MZ}\)
\(\displaystyle{ ZZ, MM, M\left( \right)}\)

Pierwsze dwa przypadki sa takie same wiec mozna przyjac ze po wylosowaniu pierwszego zlotego jest

\(\displaystyle{ Z, MM, MZ}\) z prawdopodobienstwem \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ ZZ, MM, M}\) z prawdopodobienstwem \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)

W pierwszym przypadku: Zmiana: \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) na zloty, Bez zmiany : \(\displaystyle{ 1}\) na zloty
W drugim przypadku: Zmiana : \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) na zloty, Bez zmiany : \(\displaystyle{ 0}\) na zloty

Wobec tego w ogole po wyciagnieciu pierwszego zlotego:

Zmiana: \(\displaystyle{ \frac{2}{3}\frac{1}{4} + \frac{1}{3}\frac{1}{2} = \frac{1}{3}}\) na nastepny zloty
Bez zmiany: \(\displaystyle{ \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 = \frac{2}{3}}\) na nastepny zloty

Czyli lepiej nie zmieniac. Wiem ze cos tu jest nie tak, bo na cwiczeniach gdzies tu sie pojawila \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\) (chyba przy zmianie zamiast \(\displaystyle{ \frac{1}{3}.}\)

[mat_61]

Wg mnie to co napisałeś jest OK.

[Edward D]

A jaki bylby bardziej scisly sposob zapisania tego zadania? Z wykorzystaniem prawdopodobienstw warunkowych na przyklad?

[mat_61]

Z p-stwa całkowitego (liczymy p-stwo wylosowania \(\displaystyle{ Z}\)) i wzoru Bayes'a możemy obliczyć, że:

a: jeżeli wylosowano za pierwszym razem \(\displaystyle{ Z}\), to p-stwo, że losowaliśmy z pudełka \(\displaystyle{ ZZ}\) wynosi \(\displaystyle{ P(ZZ/Z)=\frac{2}{3}}\)

b: jeżeli wylosowano za pierwszym razem \(\displaystyle{ Z}\), to p-stwo, że losowaliśmy z pudełka \(\displaystyle{ ZM}\) wynosi \(\displaystyle{ P(ZM/Z)=\frac{1}{3}}\)

Teraz dla przypadku A: zamiany pudełka i kolejnego wylosowania \(\displaystyle{ Z}\) mamy:

\(\displaystyle{ P(A)=P(ZZ/Z) \cdot \left[ P(Z/ZM) \cdot P(ZM)+P(Z/MM) \cdot P(MM)\right] + \\
+ P(ZM/Z) \cdot \left[ P(Z/ZZ) \cdot P(ZZ)+P(Z/MM) \cdot P(MM)]\right = \\
=\frac{2}{3}\left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}+0 \cdot \frac{1}{2} \right) + \frac{1}{3}\left( 1 \cdot \frac{1}{2}+0 \cdot \frac{1}{2} \right)= \frac{1}{6}+ \frac{1}{6} = \frac{1}{3}}\)

Analogicznie dla przypadku B: nie zmieniania pudełka i kolejnego wylosowania \(\displaystyle{ Z}\) mamy:

\(\displaystyle{ P(B)=P(ZZ/Z) \cdot P(Z/*Z)+P(ZM/Z) \cdot P(Z/*M)= \frac{2}{3} \cdot 1+ \frac{1}{3} \cdot 0= \frac{2}{3}}\)

[Edward D]

\(\displaystyle{ P(A)=P(ZZ/Z) \cdot \left[ P(Z/ZM) \cdot P(ZM)+P(Z/MM) \cdot P(MM)\right] + \\
+ P(ZM/Z) \cdot \left[ P(Z/ZZ) \cdot P(ZZ)+P(Z/MM) \cdot P(MM)]\right}\)

Nie rozumiem jak to jest obliczone. Jaki to wzor?

[mat_61]

Wewnątrz każdego z kwadratowych nawiasów, jest wzór na p-stwo całkowite.
Przy podjęciu decyzji o losowaniu z innego pudełka niż pierwotnie, mamy do wyboru dwa pudełka i liczymy p-stwo wylosowania złotego pierścionka przy założeniu, że wybór każdego z tych pudełek jest jednakowo prawdopodobny.

[Edward D]

Czy jest to wobec tego jakby 2 razy zastosowane p-two calkowite? Przy jakich podzialach? Bo ciagle cos mam watpliwosci. Tzn rozumiem ideę, ale nie wiem skad taki zapis mozna wziac. Tzn dokladnie z jakich twierdzen sie korzysta aby otrzymac ten zapis.

[mat_61]

Tak, wzór na p-stwo całkowite jest zastosowany dwukrotnie.

1. Po raz pierwszy wówczas gdy wykonujemy pierwsze losowanie wg schematu:
- wybieramy pudełko spośród trzech
- wybieramy pierścionek z wybranego pudełka

Te obliczenia p-stwa całkowitego wykonujemy po to, żeby skorzystać ze wzoru Bayes'a i obliczyć odpowiednie p-stwa warunkowe.

2. Po raz drugi wówczas gdy wykonujemy drugie losowanie w wariancie zmiany pudełka, wg schematu:
- wybieramy pudełko spośród dwóch
- wybieramy pierścionek z wybranego pudełka