Idiodycznie sformułowane zad. na p. warunkowe

[Edward D]

Wiadomo, że 50% procesorów wytwarzanych w fabryce ma usterki. Wiadomo rów-
nież, że pewne procesory są kradzione jeszcze przed kontrolą jakości i nielegalnie
trafiają na rynek. Inspekcja pokazała, że tylko 5% legalnie sprzedawanych proce-
sorów ma usterki i że 1% procesorów będących w sprzedaży pochodzi z kradzieży.
Oblicz prawdopodobieństwo, że uszkodzony procesor zakupiony na rynku pochodzi
z kradzieży.

\(\displaystyle{ P(U)=0,5}\)
\(\displaystyle{ P( \neg L)=0,01}\)
\(\displaystyle{ P(U|L)=0,05}\)
\(\displaystyle{ P( \neg L|U)=?}\)

\(\displaystyle{ P( \neg L|U)= \frac{P(U| \neg L)P( \neg L)}{P(U)}}\)

\(\displaystyle{ P(U)=P(U|L)P(L)+P(U| \neg L)P( \neg L)}\)
\(\displaystyle{ 0,5=0,05 \cdot 0,99 + P(U| \neg L) \cdot 0,01}\)
\(\displaystyle{ P(U| \neg L) = 45,05}\)

No i absurd. Nie rozumiem tego zadania, podejrzewam ze zle interpretuje tresc ktora chyba bardziej niejednoznacznie nie mogla byc napisana. Prosze o pomoc w znalezieniu bledu.

[chris_f]

Użyj twierdzenia Bayesa. Ty już wiesz, że zakupiony procesor jest uszkodzony, a szukasz prawdopodobieństwa, ze przyczyną było zdarzenie, że pochodzi z kradzieży.
Oznaczmy:
\(\displaystyle{ A_1}\) - kupiony procesor pochodzi z kradzieży, \(\displaystyle{ P(A_1)=0,01}\)
\(\displaystyle{ A_2}\) - kupiony procesor jest legalny, \(\displaystyle{ P(A_2)=0,99}\)
\(\displaystyle{ B}\) - kupiony procesor jest uszkodzony.
Prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(B)}\) obliczamy jako prawdopodobieństwo całkowite (i tak będzie potrzebne przy wzorze Bayesa)
\(\displaystyle{ P(B)=P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)=0,5\cdot0,01+0,05\cdot0,99=0,005+0,0495=0,0545}\)
No i teraz trzeba policzyć
\(\displaystyle{ P(A_1|B)}\)
Znajdź sobie wzór (twierdzenie) Bayesa i podstaw.

[Edward D]

Dlaczego P(B) nie jest rowne 0,5 przeciez tak jest w tresci zadania.

[chris_f]

Nie. 0,5 to prawdopodobieństwo, że wyprodukowany procesor jest uszkodzony i takie jest prawdopodobieństwo, ze kupując kradziony procesor to trafimy na uszkodzony (bo one nie są testowane).
Procesory sprzedawane legalnie (pewnie wskutek kontroli jakości) mają tylko 5%=0,05 braków.

[Edward D]

Chyba wiem w czym rzecz. Brakowalo mi w tresci stwierdzenia ze je naprawiaja.

Czyli jest tak, produkuja w fabryce procesory z ktorych polowa jest zla ale nikt o tym nie wie. Zlodzieje kradna jakis ulamek tych procesorow a potem w fabryce patrza i naprawiaja te ktore sa zle ale nie do konca bo niektore dalej nie dzialaja, tak?

Jesli tak jest to nie mam wiecej pytan, jesli chodzi o same twierdzenia i liczenie tego to tutaj nie mam zadnych problemow, najgorzej jest w tych zadaniach sie domyslic co poeta mial na mysli! Dzieki za rozjasnienie.

[chris_f]

Nie tyle naprawiają co odrzucają wadliwe (te które uda się wykryć). W rzeczywistości, w początkowych seriach nowych modeli nawet do 90% wychodzących "z maszyny" procesorów jest wadliwych.
Zadanie jest sformułowane jak najbardziej logicznie. Nie zawsze treść zadań będzie sformułowana "matematycznie", wystarczy tylko trochę pomyśleć.