Zmienna losowa jednowymiarowa

[seba21007]

Zmienna losowa jest to funkcja \(\displaystyle{ X:\Omega \rightarrow R}\). To jest dla mnie zrozumiałem ale dostałem na wykładzie że ta funkcja posiada taką własność
\(\displaystyle{ \forall_{x \in R} \left\{ w: X(w)<x\right\} \in S}\)
Trochę nie rozumiem co mówi ta własność.
Czytając :
Dla każdej wartości (x) zmiennej losowej (X) należącej do liczb rzeczywistych,

ogół zdarzeń elementarnych (w) należący do przestrzeni zdarzeń elementarnych (\(\displaystyle{ \Omega}\))

takich że wartość jaką zmienna losowa przyporządkowuję zdarzeniu elementarnemu (w) jest mniejsza od każdej wartości zmiennej losowej

który należy do zbioru zdarzeń elementarnych S.

Tutaj jest chyba cos nie tak bo ja np. potrafię znaleźć takie zdarzenie elementarne dla którego zmienna losowa przyporządkowuje wartość większą od każdej wartości zmiennej losowej. Przynajmniej mi tak moja logika podpowiada

A moze niepotrzebnie się zagłębiam w jakieś szczegóły i powinno to być interpretowane tak:

Dla kazdej wartość (x) należącej do liczb rzeczywistych zmiennej losowej (X)

możemy znaleźć takie zdarzenie elementarne (w) z przestrzeni zdarzeń elementarnych (\(\displaystyle{ \Omega}\))

dla których wartość jaką przyporządkowuje zmienna losowa zdarzeniu elementarnemu (w) jest mniejsza od dowolnej wartości

które należy do zbioru zdarzeń elementarnych (S)

Proszę o pomoc.

[szw1710]

Zmienna losowa to funkcja mierzalna i chodzi o to, żeby zbiory, o których piszesz, były zdarzeniami, tj. elementami sigma-ciała zdarzeń (inni nazywają je sigma-algebrą). To właśnie mówi ten warunek. To definicja. Funkcja mierzalna i już. Zapoznaj się z jej definicją.

[seba21007]

Zmienna losowa to funkcja mierzalna i chodzi o to, żeby zbiory, o których piszesz, były zdarzeniami, tj. elementami sigma-ciała zdarzeń (inni nazywają je sigma-algebrą). To właśnie mówi ten warunek. To definicja. Funkcja mierzalna i już. Zapoznaj się z jej definicją.

Dzięki z szybką pomoc ale ja to wszystko wiem ja tam wyżej rozpisałem się o tym dlaczego tam jest \(\displaystyle{ X(w)<x}\) dlaczego nie może być \(\displaystyle{ X(w)>x}\) przecież x mniejszych od W(x) jest tyle samo co x wiekszych od X(w) czyli nieskończenie wiele bo \(\displaystyle{ x \in R}\)
Nadal nie rozumiem tej własności

[szw1710]

Warunek \(\displaystyle{ \{\omega\in\Omega:X(\omega)>x\}\in S}\) dla każdego \(\displaystyle{ x\in\RR}\) jest równoważny mierzalności i można równie dobrze postulować jego spełnienie. Znak \(\displaystyle{ >}\) można zresztą zastąpić każdą nierównością, a także równością. Niektórzy wolą jeszcze inaczej: \(\displaystyle{ X}\) jest mierzalna \(\displaystyle{ \iff}\) \(\displaystyle{ X^{-1}(B)\in S}\) dla każdego zbioru borelowskiego \(\displaystyle{ B\subset\RR}\). To z kolei generuje pewną miarę zwaną rozkładem zmiennej losowej. Pierwszy sposób ze zbiorami \(\displaystyle{ \{\omega\in\Omega:X(\omega)<x\}\in S}\) związany jest raczej z dystrybuantą.

[seba21007]

Dziękuje, tak też myślałem, że znak mniejszości jest po to żeby nie mieszać już później w dystrybuancie ale przecież to powinno być podkreślane przez wykładowców ... a nie podanie pewnej własności ni stąd ni zowąd ;D może na kierunku "Matematyka" jest to podkreślane ale już na pokrewnych to wykładowcom się nie chce ...

[szw1710]

A co Ty studiujesz? Bo na kierunku niematematycznym zbytnie wchodzenie w teorię też nie zawsze jest właściwe. Jeśli pragniesz aż tak teoretycznego podejścia, pójdź na drugi fakultet - matematyczny

[seba21007]

Informatyka ale na politechnice wiec pierwszy rok to sama matematyka. Pragnę, czy nie pragnę ale kucie na pamięć definicji bez zrozumienia to strata czasu

[szw1710]

Świetne podejście. Tak trzymaj.