Rozdawanie monet

Agata80 · Post autor: **Agata80** » 18 mar 2013, o 20:06

Na ile sposobów można rozdać n monet jednozłotowych k dzieciom tak, aby każde z nich otrzymało co najmniej 2 złote?

janusz47 · Post autor: **janusz47** » 18 mar 2013, o 20:39

Rozdajemy k dzieciom po 2 zł i pozostałe \(\displaystyle{ n - 2k}\) monet dowolnie czyli wszystkich sposobów jest tyle ile kombinacji:
\(\displaystyle{ {n - k -1\choose n- 2k }}\)

Lub tyle, ile jest wszystkich rozwiązań w liczbach całkowitych równania
\(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} + ... + x_{k} = n}\), to jest
\(\displaystyle{ {n - k -1\choose n- 2k }}\)

Agata80 · Post autor: **Agata80** » 18 mar 2013, o 21:04

Skąd się bierze n-k-1? Bo resztę rozumiem.-- 18 mar 2013, o 21:31 --n - k wydaje mi się że odejmujemy liczbę monet od liczby dzieci, ale skąd 1???

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 18 mar 2013, o 22:32

Jak masz kolejno ustawionych w rządku \(\displaystyle{ k}\) szuflad, zwanych także dziećmi, to przegród pomiędzy szufladami jest \(\displaystyle{ k-1}\). Jeśli do tychże szuflad wrzucisz \(\displaystyle{ n-2k}\) złotych monet, to otrzymasz \(\displaystyle{ n-k-1}\)-elementowy ciąg monet i przegródek, na przykład ciąg \(\displaystyle{ OO|OOOO||OO|O|}\) odpowiada sytuacji, gdy do pierwszej szuflady wrzucono dwie monety, do drugiej cztery, do trzeciej nic, do kolejnych dwie, jedną, nic.