Prawdopodobieństwo - 2 zadania do oceny

[anq_]

1.\(\displaystyle{ 20}\) Ciastek zostało rozdzielonych na \(\displaystyle{ 4}\) osoby. Oblicz prawdopodobieństwo, że dokładnie jedna z nich nie dostanie żadnego ciastka.

Rozwiązanie:
Na początku liczę ilość sposobów, na które mogą zostać rozdane ciastka:
ilosc sposobow na rozdanie \(\displaystyle{ = {20\choose4}.}\)
Następnie liczę ilość sposobów, gdy dokładnie 1 osoba dostanie ciastka (zdarzenie przeciwne). Są to 4 sposoby (1 osoba otrzymuje 20 ciastek, 2 osoba otrzymuje 20 ciastek, 3 osoba otrzymuje 20 ciastek bądź 4 osoba otrzymuje 20 ciastek).

\(\displaystyle{ P(A') = \frac{4}{ {20\choose4} }}\)
następnie:
\(\displaystyle{ P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{4}{ {20\choose4} }}\)

2. W klasie 60 uczniów 30 uprawia koszykówkę(K), 20 biegi(B), 15 siatkówkę(S), 3 koszykówkę i siatkówkę, 4 biegi i siatkówkę, 3 koszykówkę i biegi, 2 wszystkie z nich. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany uczeń uprawia biegi.

Rozwiązanie:
Liczę ilość osób uprawiających w danej klasie sport: ( z zasady włączania i wyłączania )
\(\displaystyle{ K \cup B \cup S = K + B + S - (K \cap B) - ( K \cap S ) - ( B \cap S ) + ( K \cup B \cup S ) = ... = 57}\)
Prawdopodobieństwo, że wylosowana osoba uprawia sport (zdarzenie A):
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{57}{60}}\)
\(\displaystyle{ P(AB) = \frac{57}{60} \cdot \frac{20}{65}}\)
gdzie \(\displaystyle{ P(AB)}\) to prawdopodobieństwo, że tym sportem są biegi.

[lesmate]

dokładnie jedna z nich nie dostanie żadnego ciastka.

Są to 4 sposoby (1 osoba otrzymuje 20 ciastek, 2 osoba otrzymuje 20 ciastek, 3 osoba otrzymuje 20 ciastek bądź 4 osoba otrzymuje 20 ciastek).

W opisanych zdarzeniach dokładnie 3 osoby nie dostały ciasteczka.

Z drugim też się nie zgodzę.

Ile wynosi moc \(\displaystyle{ \Omega}\) i ile jest zdarzeń sprzyjających?

[anq_]

dokładnie jedna z nich nie dostanie żadnego ciastka.

Są to 4 sposoby (1 osoba otrzymuje 20 ciastek, 2 osoba otrzymuje 20 ciastek, 3 osoba otrzymuje 20 ciastek bądź 4 osoba otrzymuje 20 ciastek).

W opisanych zdarzeniach dokładnie 3 osoby nie dostały ciasteczka.

A czy zdarzeniem przeciwnym do "dokładnie jedna z nich nie dostanie żadnego ciastka." nie bedzie "dokładnie jedna z nich dostanie wszystkie ciastka." ? Jesli nie to prosilbym o jakas wskazowke.

Co do drugiego wydaje mi się, że zdarzeniami sprzyjajacymi będzie A - uczeń uprawia sport i B - uprawiany sport to biegi.

[lesmate]

Zdarzeniem przeciwnym do "dokładnie jedna z nich nie dostanie żadnego ciastka."
jest "dokładnie jedna z nich nie dostanie 1 ciastko" lub "dokładnie jedna z nich nie dostanie 2 ciastka" lub "dokładnie jedna z nich nie dostanie 3 ciastka." lub "dokładnie jedna z nich nie dostanie 4 ciastka."-- 19 mar 2013, o 14:44 --ja bym liczył wprost. każde rozdanie ciastek pomiędzy pozostałych, w którym każdy dostaje ciastka

[anq_]

Dziękuje za pomoc. Czy w takim razie w zadaniu 1:
\(\displaystyle{ \Omega = {20\choose 4}}\) (ilosc spobosow na rozdanie tych cukierkow)
Skoro dokladnie 1 osoba ma nie dostać zadnego ciastka to:
a) daje po 1 ciastku dla 3 pozostalych osob
b) licze ilosc sposobow na rozdanie pozostałych 17 ciastek z czego wychodzi mi
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{ {17\choose 3} }{ {20\choose 4} }}\)

[lesmate]

tez mi to trochę nie pasuje. Kombinacją \(\displaystyle{ {20 \choose 4}}\) to wybierasz \(\displaystyle{ 4}\) ciastka z \(\displaystyle{ 20}\), a gdzie pozostałe \(\displaystyle{ 16}\)? są niewylosowane

-- 20 mar 2013, o 11:27 --

poprawnie jest:
\(\displaystyle{ \Omega}\)

\(\displaystyle{ {20 \choose 0} {20 \choose 0}{20 \choose 0}{20 \choose 20}+
{20 \choose 0} {20 \choose 0}{20 \choose 1}{19\choose 19}+
{20 \choose 0} {20 \choose 0}{20 \choose 2}{18\choose 18}+..
{20 \choose 0} {20 \choose 0}{20 \choose 20}{19\choose 0}+..}\)
i tak dalej rozkład liczby \(\displaystyle{ 20}\) na sumę czterech składników
\(\displaystyle{ A:}\)
\(\displaystyle{ {20 \choose 1} {19 \choose 1}{18 \choose 18}+
{20 \choose 1} {19 \choose 2}{17 \choose 17}+
{20 \choose 1} {19 \choose 3}{16 \choose 16}+...+
{20 \choose 1} {19 \choose 18}{1 \choose 1}+
{20 \choose 2} {19 \choose 1}{17 \choose 17}+...}\)

i tak dalej

i tak dalej rozkład liczby \(\displaystyle{ 20}\) na sumę trzech niezerowych składników składników

[anq_]

A czy nie mozna policzyc tego w nastepujacy sposob:
\(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+x_4=20}\)
Liczba rozwiązań równania w zbiorze liczb dodatnich ( czyli nasza \(\displaystyle{ \Omega}\)):
\(\displaystyle{ {20+4-1 \choose 4-1}}\)?

[lesmate]

na to pytanie nie znam odpowiedzi, nie odpowiem Ci.-- 21 mar 2013, o 07:45 --Nigdy nie wiedziałem kiedy korzystać z permutacji z powtórzeniami

[anq_]

To nie są kombinacje z powtórzeniami (chyba to miałeś na myśli). Znalazłem w wykładzie ten wzór ( \(\displaystyle{ {n+k-1\choose k-1}}\) na ilość sposobów rozwiązań takiego równania (równoważne z ilością sposobów rozmieszczenia nierozróżnialnych obiektów w rozróżnialnych przegrodach) ale nie byłem pewny czy mogę go tu zastosować. Mimo wszystko dziękuje za pomoc.

[lesmate]

tak myślałem o kombinacjach z powtórzeniami, fajnie bo wspólnymi siłami problem został rozwiązany, ale wzór jest na prawdę podobny