Prawdopodobieństwo wylosowania

piotter2111 · Post autor: **piotter2111** » 16 mar 2013, o 19:34

Witam. Mam takie zadanko.
Z talii 24 kart losujemy 5 różnych. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie dwóch asów lub dokładnie dwóch pików.
Jest to dla mnie kompletnie ciemna magia. Mógłbym liczyć na pomoc i małe wyjaśnienie?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 16 mar 2013, o 20:24

No to na początek tak zwana omega ?

piotter2111 · Post autor: **piotter2111** » 17 mar 2013, o 10:17

Będą to pięcioelementowe wariancje z 24, czyli
\(\displaystyle{ \left|\Omega\right|= \frac{24!}{19!}=5100480}\), zgadza się?

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 17 mar 2013, o 11:44

Nie. To akurat będą kombinacje.

piotter2111 · Post autor: **piotter2111** » 17 mar 2013, o 16:46

\(\displaystyle{ \left|\Omega\right|= \frac{24!}{5! \cdot 19!}=42504}\)
Myślałem o obliczeniu mocy dwóch zdarzeń:
A-wylosowanie dokładnie dwóch asów
B-wylosowanie dokładnie dwóch pików
a następnie skorzystać ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń. Będzie to dobre rozwiązanie?

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 17 mar 2013, o 16:55

Bardzo dobre.

piotter2111 · Post autor: **piotter2111** » 17 mar 2013, o 20:25

\(\displaystyle{ \left|A\right|= {4 \choose 2} \cdot {20 \choose 3} =6840}\)
\(\displaystyle{ \left|B\right|= {6 \choose 2} \cdot {18 \choose 3} = 12240}\)
W obecnej chwili największy problem dla mnie stanowi obliczenie mocy iloczynu zdarzeń. Jeśli źle to robię to poprawcie mnie.

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 17 mar 2013, o 20:26

Tak.-- 17 mar 2013, o 20:36 --Wskazówka:

Dla obliczenia mocy iloczynu zdarzeń rozpatrz dwa przypadki:

I: jednym z wylosowanych asów jest as pik
II: żaden z wylosowanych asów nie jest asem pik

piotter2111 · Post autor: **piotter2111** » 18 mar 2013, o 19:25

\(\displaystyle{ \left|A \cap B\right|= {3 \choose 1} \cdot {5 \choose 1} \cdot {14 \choose 2} + {3 \choose 2} \cdot {5 \choose 2} \cdot {14 \choose 1} =1785}\)
Zgadza się?

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 18 mar 2013, o 23:02

Prawie.

Pomysł i sposób rozwiązania jest dobry, ale kart nie będących asami i pikami jest \(\displaystyle{ 15}\) a nie \(\displaystyle{ 14}\) (po pięć kierów, kar i trefli). Ty dwukrotnie odjąłeś asa pik, raz jako asa i raz jako pika. Tym samym musisz poprawić ostatni czynnik każdego ze składników.

piotter2111 · Post autor: **piotter2111** » 20 mar 2013, o 19:41

Rzeczywiście
\(\displaystyle{ \left|A \cap B\right|= {3 \choose 1} \cdot {5 \choose 1} \cdot {15 \choose 2} + {3 \choose 2} \cdot {5 \choose 2} \cdot {15 \choose 1}=2025}\)
A teraz?

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 20 mar 2013, o 21:06

Teraz jest OK.

piotter2111 · Post autor: **piotter2111** » 20 mar 2013, o 21:17

\(\displaystyle{ P\left( A \cup B\right) = P\left( A\right) + P\left( B\right) - P\left( A \cap B\right)}\)
Więc:
\(\displaystyle{ P\left( A \cup B\right) = \frac{5685}{14168} \approx 0,4}\)
Dziękuję za pomoc

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 20 mar 2013, o 22:08

Rachunków liczbowych nie sprawdzałem, ale sposób rozwiązania jest oczywiście poprawny.