Losowanie Ligi Mistrzów

[misiu9091909]

Zadanie, które wymyśliłem sobie sam W piątek mamy losowanie par ćwierćfinałowych Ligi Mistrzów.
Mamy takie drużyny:
Real Madryt (Hiszpania)
Barcelona (Hiszpania)
Malaga (Hiszpania)
Borussia (Niemcy)
Bayern (Niemcy)
PSG (Francja)
Galatasaray (Turcja)
Juventus (Włochy).

Jak obliczyć prawdopodobieństwo, że wystąpi przynajmniej jeden mecz między drużynami z tego samego kraju? Losowanie jest zupełnie losowe, nikt nie jest rozstawiony etc.

[Sir George]

Fajne zadanko...

Moim zdaniem to prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{51}{105}}\), czyli trochę poniżej 50%.

Ukryta treść:    

Wszystkich możliwych par jest \(\displaystyle{ \frac1{4!}\cdot{8\choose2,2,2,2}}\), czyli \(\displaystyle{ 105}\) - o ile się nie pomyliłem w rachunkach. \(\displaystyle{ 4!}\) wzięło się stąd, że nie uwzględniam miejsca rozgrywek, tj. nie rozróżniam ćwierćfinałów.

Łatwiejsze będzie do policzenia zdarzenie przeciwne, tj. "nie spotkają się żadne drużyny z tego samego kraju". Po pierwsze, drużyny hiszpańskie muszą być w różnych parach (stąd dostaniemy czynnik 4!, który skróci 4! w mianowniku pochodzące od nierozróżnialności par).
Pozostałe drużyny rozmieszczamy zatem w trzech "jednomiejscowych pudełkach" i w jednym "pudełku dwumiejscowym", z tym, że dodatkowo drużyny niemieckie nie mogą trafić jednocześnie do "pudełka dwumiejscowego" - co jest możliwe na \(\displaystyle{ 3!\cdot\left({5\choose2}-1\right)}\) sposoby, czyli na \(\displaystyle{ 54}\) sposoby.

...ale nie gwarantuję poprawności rozwiązania...
Pozdrawiam...
sG

[Qń]

\(\displaystyle{ \frac{17}{35}}\) - z zasady włączeń i wyłączeń:
\(\displaystyle{ |A_N \cup A_H| = |A_N|+|A_H| - |A_N \cap A_H| = 5\cdot 3 + 3 \cdot 5 \cdot 3 - 3 \cdot 3 =51}\)

\(\displaystyle{ \frac{51}{105}= \frac{17}{35}}\)

Q.

[misiu9091909]

Dziękuję, w sumie myślałem dziś nad tym w ciągu dnia i też mi wyszedł taki wynik, choć chyba raczej na sposób samego logicznego myślenia, bez znajomości konkretnych wzorów