rozmieszczanie 7 kul w 7 urnach.

[matinf]

Witam,
mamy 7 kul o różnych kolorach. Mamy też 7 urn. Jakie jest p-stwo, że po losowym rozmieszczeniu dokładnie:
a) trzy urny będą puste
b) dwie będą puste
c) jedna będzie pusta.

[pyzol]

Każdej kuli przypisujesz numer urny. Możliwości masz \(\displaystyle{ 7^7}\).
Teraz tak wybieramy \(\displaystyle{ 4}\) urny na \(\displaystyle{ \binom{7}{4}}\) sposobów. Teraz mamy siedem kul i każdej przypisujemy jedną z \(\displaystyle{ 4}\) urn więc \(\displaystyle{ 4^7}\). Razem:
\(\displaystyle{ \binom{7}{4}4^7}\)

[Qń]

Teraz tak wybieramy \(\displaystyle{ 4}\) urny na \(\displaystyle{ \binom{7}{4}}\) sposobów. Teraz mamy siedem kul i każdej przypisujemy jedną z \(\displaystyle{ 4}\) urn więc \(\displaystyle{ 4^7}\). Razem:
\(\displaystyle{ \binom{7}{4}4^7}\)

W ten sposób może się zdarzyć, że nie dokładnie trzy, ale na przykład sześć urn będzie pustych.

W tym zadaniu trzeba skorzystać z zasady włączeń i wyłączeń.

Q.

[pyzol]

Faktycznie, zadanie robi się przez to bardzo niewygodne.

[Qń]

Nie aż tak niewygodne:
\(\displaystyle{ |A| = \binom 73 \cdot (4^7- 4\cdot 3^7 + 6\cdot 2^7 - 4\cdot 1)}\)
(i pozostałe podpunkty podobnie)

Q.

[matinf]

Możesz wyjasnić skąd to bierzesz?

[Qń]

A wiesz czym jest zasada włączeń i wyłączeń?

Q.

[matinf]

Niestety nie. A nie da rady tego jakoś inaczej ?

[Qń]

Nie wydaje mi się, żeby to zadanie dało się rozwiązać inaczej.

Q.