rzut monetą na posadzkę
-
anetus1712
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 2 mar 2011, o 18:21
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: łódź
- Podziękował: 1 raz
rzut monetą na posadzkę
Rzucamy monetę o średnicy d na posadzkę z kwadratowych płytek o boku D(D>d). Jakie są prawdopodobieństwa zdarzeń: a)moneta częściowo przykrywa tylko 1 płytkę, b)moneta częściowo przykrywa cztery płytki?
-
radwaw
- Użytkownik
- Posty: 72
- Rejestracja: 6 mar 2013, o 19:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 7 razy
rzut monetą na posadzkę
a)moneta częściowo przykrywa tylko 1 płytkę
to znaczy że jest w całości na jednym kwadracie?
Rozłóżmy to zdarzenie na 2 zdarzenia niezależne odległość środka monety od najbliższej "poziomej" linii na posadzce i od najbliższej "pionowej" linii na posadzce. Oznaczmy te wartości jako x i y.
\(\displaystyle{ 0 \le x < D/2}\)
\(\displaystyle{ 0 \le y < D/2}\)
przykrywa dokładnie cztery płytki wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2} \le d}\)
łatwo zauważyć że jest to równanie określające pole ćwiartki koła (x,y>0).
Prawdopodobieństwo jest zatem jak 1/4 pola koła promieniu d do pola kwadratu o boku D/2
\(\displaystyle{ \frac{1/4 \pi d^2}{(D/2)^2} = \pi \frac{d^2}{D^2}}\)
to znaczy że jest w całości na jednym kwadracie?
Rozłóżmy to zdarzenie na 2 zdarzenia niezależne odległość środka monety od najbliższej "poziomej" linii na posadzce i od najbliższej "pionowej" linii na posadzce. Oznaczmy te wartości jako x i y.
\(\displaystyle{ 0 \le x < D/2}\)
\(\displaystyle{ 0 \le y < D/2}\)
przykrywa dokładnie cztery płytki wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2} \le d}\)
łatwo zauważyć że jest to równanie określające pole ćwiartki koła (x,y>0).
Prawdopodobieństwo jest zatem jak 1/4 pola koła promieniu d do pola kwadratu o boku D/2
\(\displaystyle{ \frac{1/4 \pi d^2}{(D/2)^2} = \pi \frac{d^2}{D^2}}\)