W szafce na buty znajduje sie n butów w n kolorach.

[Edward D]

W szafce na buty znajduje się \(\displaystyle{ n}\) par butów w \(\displaystyle{ n}\) kolorach. Wybieramy \(\displaystyle{ 2m}\) spośród \(\displaystyle{ 2n}\) butów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych butów znajdzie się przynajmniej jedna kompletna para butów?

Wiem, że będzie

\(\displaystyle{ 1-p = \frac{A}{ {2n \choose 2m} }}\)

gdzie \(\displaystyle{ A}\) to liczba możliwości wylosowania 2n z 2m tak żeby ani kolory ani orientacje (tzn prawy/lewy ) butów się nie powtarzały ani razu. Jak teraz wyznaczyć \(\displaystyle{ A}\)?

[loitzl9006]

W szafce na buty znajduje się \(\displaystyle{ n}\) butów

a nie powinno być czasem: W szafce na buty znajduje się \(\displaystyle{ n}\) par butów ? Bo coś mi nie pasuje - najpierw jest mowa o \(\displaystyle{ n}\) butach, a potem o \(\displaystyle{ 2n}\)...

[Edward D]

Oczywiście powinno być n par.

[loitzl9006]

Dzielisz zbiór \(\displaystyle{ 2n}\) butów na dwa zbiory, w pierwszym jest \(\displaystyle{ n}\) lewych butów, a w drugim jest \(\displaystyle{ n}\) prawych - w ten sposób masz pewność że w każdym ze zbiorów są różnokolorowe buty. Losujesz \(\displaystyle{ 2m}\) spośród \(\displaystyle{ n}\), zatem \(\displaystyle{ A= {n \choose 2m}}\) - ten wzór ma sens dla \(\displaystyle{ n\ge 2m}\). Jeżeli \(\displaystyle{ n<2m}\), to wtedy szukane prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ 1}\) - siłą rzeczy wylosujemy przynajmniej jedną kompletną parę butów.

[Edward D]

Odpowiedzią podaną na ćwiczeniach jest że \(\displaystyle{ A= {n \choose 2m} \cdot 2^{2m}}\). Nie mam bladego pojęcia dlaczego.

[loitzl9006]

Widać że wersja z ćwiczeń jest poprawna ale ja nie umiem niestety tego jakoś uzasadnić...

[Edward D]

Kombinowałem coś z innymi reprezentacjami dokonanych wyborów, np:

\(\displaystyle{ \Omega = \{ (a_1,...,a_{n},b_1,...,b_{n}) : a_i , b_i \in \{ 0,1 \} , \sum_{i=1}^{n} (a_i + b_i) = 2m \}}\)

Wtedy

\(\displaystyle{ A = \{ (a_1,...,a_{n},b_1,...,b_{n}) : a_i , b_i \in \{ 0,1 \} , \sum_{i=1}^{n} (a_i + b_i) = 2m, a_i = 1 \iff b_i =0 \}}\)

Chodzi o to że \(\displaystyle{ a_i}\) reprezentują lewe buty, a \(\displaystyle{ b_i}\) prawe, np jeśli n=5, to mamy w szufladzie \(\displaystyle{ L_1, ..., L_5, P_1, ..., P_5}\) (indeksy odpowiadają kolorom), jeśli wybierzemy z tego 2m = 4 buty, powiedzmy \(\displaystyle{ L_1, L_3, L_4, P_2}\), to reprezentuje to ciąg \(\displaystyle{ (1,0,1,1,0;0,1,0,0,0)}\).

Niestety niewiele mi to dało, bo nie umiem policzyć mocy A - nie wiem jak uwzględnić te warunki, moc omega to chyba też \(\displaystyle{ {2n \choose 2m}}\) ? Chociaż prawdopodobnie i tak jest to komplikowanie sobie życia, bo można jakoś łatwo to zrobić.-- 8 mar 2013, o 14:43 --Czy ktoś mógłby uzasadnić odpowiedź do tego zadania?