Kule w urnach

Lukas965 · Post autor: **Lukas965** » 7 mar 2013, o 10:40

Witam, dostałem na zadanie obliczenie prawdopodobieństwa poniższego zadania... od rana próbuję je rozwiązać, ale coraz więcej o tym czytam, tym mniej wiem jak to poprawnie wykonać... mam mętlik w głowie. Jestem na studiach a w liceum nigdy prawdopodobieństwa nie mieliśmy.

Mamy dwie urny z kulami: urna I zawiera 60 kul białych i 30 kul czarnych oraz
urna II, w której znajduje się czterdzieści kul białych i sześćdziesiąt kul czarnych.
Zakładając, że po każdym losowaniu kulę A) zwracamy, B) nie zwracamy do urny, obliczyć
prawdopodobieństwo wylosowania
1. dwudziestu kul białych i trzydziestu czarnych, jeśli losujemy pięćdziesiąt kul z I
urny;
2. dziesięciu kul białych i dziesięciu kul czarnych, jeżeli losowaliśmy po dziesięć kul
z każdej urny;
3. dziesięciu kul białych i dziesięciu kul czarnych, jeżeli losowaliśmy tylko z jednej
urny, lecz urnę, z której losujemy wybieramy losowo, pierwszą z prawdopodobieństwem p1,
a drugą z prawdopodobieństwem p2

Proszę o szybką pomoc, będę bardzo wdzięczny!

-- 7 mar 2013, o 10:42 --

Punkt 1 bez zwracania wyszedł mi taki, czy dobrze to mam?
\(\displaystyle{ \frac{ {60 \choose 20} \cdot {30 \choose 30} }{ {90 \choose 50} }}\)
Wynik: \(\displaystyle{ \frac{419}{599}}\)

pyzol · Post autor: **pyzol** » 7 mar 2013, o 11:06

Wyszło ok. Choć samego wyniku nie sprawdzałem, zbyt dużo liczenia.

Lukas965 · Post autor: **Lukas965** » 7 mar 2013, o 11:10

A mógłbyś pomóc z resztą? Nie wiem jak się za to wziąć, już bez wyniku, same te symbole Newtona jak mają wyglądać, proszę.

pyzol · Post autor: **pyzol** » 7 mar 2013, o 11:20

Co do wyniku, to raczej jest on u Ciebie dużo za duży.
Ze zwracaniem, to rozkład dwumianowy. Urna zawiera \(\displaystyle{ 60}\) kul białych. Prawdopodobieństwo wyciągnięcia białej wynosi:
\(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)
Chcemy wyciągnąć \(\displaystyle{ 20}\) białych, więc:
\(\displaystyle{ P(X=20)=\binom{50}{20}\left(\frac{2}{3} \right)^{20}\left(\frac{1}{3} \right)^{30}}\)

Lukas965 · Post autor: **Lukas965** » 7 mar 2013, o 11:31

A co z czarnymi? Jak to połączyć? I jeszcze punkty 2 i 3 ze zwracaniem i bez zwracania. Na popołudnie muszę mieć to gotowe, a naprawdę mało to rozumiem, nigdy tego nie miałem ;/

pyzol · Post autor: **pyzol** » 7 mar 2013, o 11:59

A co z czarnymi? Jak to połączyć?

Skoro w \(\displaystyle{ 50}\) rzutach padło \(\displaystyle{ 20}\) białych, to reszta \(\displaystyle{ 30}\), to czarne.

Zadanie drugie, to największa męczarnia. Trzeba rozpatrzeć 11 przypadków. A lecą one tak:

Z urny 1 wyciągnęliśmy 10 białych. Z urny 2 wyciągnęliśmy 10 czarnych.
Z urny 1 wyciągnęliśmy 9 białych. Z urny 2 wyciągnęliśmy 9 czarnych.
...