Rzut 2 kostkami

[Vito_Manager]

Rozważmy doświadczenie polegające na jednoczesnym rzucie dwoma rozróżnialnymi kostkami do gry, tak długo dopóki na obu kostkach nie wypadnie ta sama liczba oczek. Obliczyć prawdopodobieństwo, że doświadczenie
a) skończy się dokładnie po n rzutach
b) skończy się.

Proszę o wyjaśnienie po kolei co się robi . dziękuje

[pyzol]

Mamy schemat dwumianowy. Prawdopodobieństwo sukcesu wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\) a porażki \(\displaystyle{ \frac{5}{6}}\).
Aby doświadczenie skończyło się w \(\displaystyle{ n-tym}\) rzucie, musimy w \(\displaystyle{ n-1}\) doznać porażki. Natomiast w \(\displaystyle{ n}\)-tym rzucie musimy odnieść sukces:
\(\displaystyle{ P(X=n)=\left( \frac{5}{6}\right)^{n-1}\cdot \frac{1}{6}}\)

[Vito_Manager]

a podpunkt b) musi być zapisany jako ciąg nieskończony? jak go zapisać?

[Mores]

b) pierwszy lemat Borela-Cantelego

\(\displaystyle{ A_{i}}\)-zdarzenie polegające na tym, że w i-tym rzucie na obu kostkach wypadną różne cyfry oczek (zatem w poprzednich rzutach również wypadały różne).

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{ \infty }P(A_i)= \sum_{i=1}^{ \infty } (\frac{5}{6})^i}\).

Powyższy ciąg jest zbieżny zatem z lematu B-C zajdzie skończona liczba zdarzeń \(\displaystyle{ A_i}\), czyli p-stwo że doświadczenie się skończy wynosi 1.

[Vito_Manager]

a da się to jakoś prościej napisać? bo musze to wytłumaczyć a nie bardzo rozumiem podpunkt b

[Mores]

Sprawdź sobie w necie lemat Borela-Cantelego. Rozwiązanie wynika wprost z niego.

[Vito_Manager]

tylko ze ten ciąg jest zbieżny to powinno być P = 0. a próbuje jakoś z pkt a do tego lematu dojść i nie wychodzi mi to.

[Mores]

W lemacie B-C powiedziane jest, że jeśli ten ciąg jest zbieżny, to wtedy prawdopodobieństwo zajścia nieskończenie wielu spośród zdarzeń A1, A2, A3, ... wynosi 0. Czyli zachodzi skończenie wiele zdarzeń Ai.
Czyli z p-stwem 1 doświadczenie się skończy