Rozkład, funkcja charakterystyczna

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
20lisek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 108
Rejestracja: 29 sty 2013, o 16:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 24 razy

Rozkład, funkcja charakterystyczna

Post autor: 20lisek »

Wyznacz rozklad prawdopodobieństwa zmiennej losowej, której funkcją charakterystyczną jest:
\(\displaystyle{ \varphi_{X}(t)= \frac{3e^{-it}}{4-e^{it}}}\)
Mores
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 7 lip 2011, o 18:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 4 razy

Rozkład, funkcja charakterystyczna

Post autor: Mores »

\(\displaystyle{ \varphi_{X}(t)= \frac{3e^{-it}}{4-e^{it}}= \sum_{n=0}^{ \infty }e^{itx} \cdot P(X=n)}\)

Korzystając ze wzoru na sumę szeregu nieskończonego otrzymujemy, że

\(\displaystyle{ a_{0}= \frac{3}{4}e^{-it}}\) oraz \(\displaystyle{ q= \frac{e^{it}}{4}}\).

Następnie zauważamy, że \(\displaystyle{ \varphi_{X}(t)= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{3}{4^{n+1}} \cdot e^{it(n-1)}}\).

Czyli \(\displaystyle{ P(X=n)= \frac{3}{4^{n+1}}}\) dla \(\displaystyle{ n=0,1,....}\).

Łatwo zauważyć, że szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{3}{4^{n+1}}}\) sumuje się do jedynki, zatem rozkład p-stwa jest dobrze okreslony.
ODPOWIEDZ