Wyznacz rozklad prawdopodobieństwa zmiennej losowej, której funkcją charakterystyczną jest:
\(\displaystyle{ \varphi_{X}(t)= \frac{3e^{-it}}{4-e^{it}}}\)
Rozkład, funkcja charakterystyczna
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 7 lip 2011, o 18:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 4 razy
Rozkład, funkcja charakterystyczna
\(\displaystyle{ \varphi_{X}(t)= \frac{3e^{-it}}{4-e^{it}}= \sum_{n=0}^{ \infty }e^{itx} \cdot P(X=n)}\)
Korzystając ze wzoru na sumę szeregu nieskończonego otrzymujemy, że
\(\displaystyle{ a_{0}= \frac{3}{4}e^{-it}}\) oraz \(\displaystyle{ q= \frac{e^{it}}{4}}\).
Następnie zauważamy, że \(\displaystyle{ \varphi_{X}(t)= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{3}{4^{n+1}} \cdot e^{it(n-1)}}\).
Czyli \(\displaystyle{ P(X=n)= \frac{3}{4^{n+1}}}\) dla \(\displaystyle{ n=0,1,....}\).
Łatwo zauważyć, że szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{3}{4^{n+1}}}\) sumuje się do jedynki, zatem rozkład p-stwa jest dobrze okreslony.
Korzystając ze wzoru na sumę szeregu nieskończonego otrzymujemy, że
\(\displaystyle{ a_{0}= \frac{3}{4}e^{-it}}\) oraz \(\displaystyle{ q= \frac{e^{it}}{4}}\).
Następnie zauważamy, że \(\displaystyle{ \varphi_{X}(t)= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{3}{4^{n+1}} \cdot e^{it(n-1)}}\).
Czyli \(\displaystyle{ P(X=n)= \frac{3}{4^{n+1}}}\) dla \(\displaystyle{ n=0,1,....}\).
Łatwo zauważyć, że szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{3}{4^{n+1}}}\) sumuje się do jedynki, zatem rozkład p-stwa jest dobrze okreslony.