Losujemy dwa punkty A i B z odcinka \(\displaystyle{ [0,1]}\). Jaka jest szansa, że środek odcinka AB będzie należał do przedziału \(\displaystyle{ [0,1/3]}\)?
Ja tak zacząłem:
\(\displaystyle{ A = \{\frac{1}{2} (x+y) < x\}}\)
\(\displaystyle{ \Omega = [0,1]}\) x \(\displaystyle{ [0,1]}\)
Losowanie dwóch punktów - środek odcinka
Losowanie dwóch punktów - środek odcinka
\(\displaystyle{ \Omega}\) to kwadrat \(\displaystyle{ [0,1]\times[0,1]}\). Zbiór zdarzeń sprzyjających to pas między prostymi:
\(\displaystyle{ 0\le\frac{x+y}{2}\le\frac{1}{3}}\), a więc \(\displaystyle{ -x\le y\le\frac{2}{3}-x}\). Łatwo to narysować. Pole tego trójkąta to rzeczywiście \(\displaystyle{ \frac{2}{9}}\).
\(\displaystyle{ 0\le\frac{x+y}{2}\le\frac{1}{3}}\), a więc \(\displaystyle{ -x\le y\le\frac{2}{3}-x}\). Łatwo to narysować. Pole tego trójkąta to rzeczywiście \(\displaystyle{ \frac{2}{9}}\).