Prawdopodobieństwo geometryczne

[studenttt91]

Na odcinku umieszczono losowo \(\displaystyle{ 2}\) punkty,\(\displaystyle{ L}\) i \(\displaystyle{ M}\). Jaka jest szansa, że z \(\displaystyle{ L}\) jest bliżej do \(\displaystyle{ M}\) niż do zera?
Mam miarę Lebesgue'a p. zdarzreń elementarnych \(\displaystyle{ l_2(\Omega)= \frac{1}{2}}\)
Jeżeli oznaczę \(\displaystyle{ |OL|=x}\) czyli odległość \(\displaystyle{ L}\) od \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ |LM|=y}\) odległość \(\displaystyle{ L}\) do \(\displaystyle{ M}\) otrzymuję zgodnie z warunkiem \(\displaystyle{ y \le x}\) czyli \(\displaystyle{ l_2(A)= \frac{1}{4}}\) czyli \(\displaystyle{ P(A)=\frac{1}{2}}\), a w odp. jest \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\). Gdzie robię błąd?

[jarek4700]

Narysuj sobie układ współrzędnych którego osie oznacz \(\displaystyle{ x_{L}}\) oraz \(\displaystyle{ x_{M}}\)
W układzie tym narysuj kwadrat jednostkowy o wierzchołkach w \(\displaystyle{ (0,0)}\) i \(\displaystyle{ (1,1)}\)

Teraz zaznacz w układzie współrzędnych zbiór który spełnia zależność z zadania czyli:
\(\displaystyle{ |x_{L} - x_{M}| < x_{L}}\)

Zobacz jaka część kwadratu została pokryta przez ten zbiór.

[studenttt91]

\(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\) ale to jeszcze trzeba podzielić przez miarę zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\) i nie wychodzi

[jarek4700]

Miarę tą można interpretować jako pole kwadratu. Jak chcesz to możesz tak dobrać długość boku żeby było równe \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) Wynik i tak wyjdzie taki sam, liczy się tylko stosunek miary (pola) obszaru zacieniowanego w kwadracie do miary całego kwadratu.