trójkąt z odcinków

[muoda92]

Mam do zrobienia zadanie:
Wybrano losowo (i niezależnie od siebie) trzy liczby z odcinka [0;1]. Jakie
jest prawdopodobieństwo, że z odcinków o długościach odpowiadających
tym liczbom da się zbudować trójkąt?

Z moich przemyśleń wynika,że
\(\displaystyle{ A=\left\{x+y>z, x,y,z \in [0,1] \right\} ,
B=\left\{x+z>y, x,y,z \in [0,1] \right\} ,
C=\left\{y+z>x, x,y,z \in [0,1]\right\}}\)
Myślę, że prawdopodobieństwem będzie sumą prawdopodobieństw tych trzech zbiorów.
Jeżeli dobrze myślę to interesuję mnie moc zbioru np. A. Czy wystarczy obliczyć całkę \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} dx \int_{0}^{1} dy \int_{0}^{x+y} dz}\) ?
Nie mam innego pomysłu, jak bardziej ograniczyć ten obszar, którego objętość chcę policzyć.

[lokas]

Na początekz obacz z jakich odcinków można trójkąt zbudować ............

[muoda92]

no z takich, żeby suma ramion była większa od podstawy, uwzględniłam to w moich zbiorach A,B,C

[lokas]

no z takich, żeby suma ramion była większa od podstawy, uwzględniłam to w moich zbiorach A,B,C

Pomyśl jeszcze raz nad tym co piszesz, czy na z odcinków \(\displaystyle{ x=1 ; y=\frac{1}{100} ; z=\frac{1}{200}}\) uda sie zubdować trójkąt? Wartości wzięte z twojego zbioru A.

[muoda92]

no nie uda mi się.. ale w takim razie nie mam pomysłu .

[which3v3r]

A ja bym proponowała jeszcze,żeby odcinek z zastąpić 1-x-y. To może trochę uprościć liczenie.

[muoda92]

Czyli mój zbiór A wygląda teraz
\(\displaystyle{ A=\left\{ x+y> \frac{1}{2} \right\}}\) ,
czyli otrzymuję, że \(\displaystyle{ |A|= 1 - (\int_{0}^{ \frac{1}{2} } dx \int_{0}^{ \frac{1}{2}-x } dy)}\) ?

[fafner]

Myślę, że bez straty ogólności możemy założyć, że wylosowaliśmy x i y, ponieważ jakiekolwiek 2 odcinki(w domyśle długości odcinków)nie wylosujemy, to wszystko zależy, jaki będzie nasz trzeci odcinek mi wyszło \(\displaystyle{ P(A)=\frac{2}{3}}\) , wydaje się trochę dużo...ale chyba OK.