kule w urnie

[tukanik]

Cześć
W pierwszej urnie jest 6 kul czarnych i 4 białe, a w drugiej urnie 7 czarnych i 8 białych. Losujemy dwie kule bez zwracania z pierwszej urny i dwie kule ze zwracaniem z drugiej urny. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie trzech kul białych.
Liczę to tak:
\(\displaystyle{ \frac{4}{10}\cdot\frac{3}{9}\cdot\frac{8}{15}\cdot\frac{7}{15}\cdot+\frac{8}{15}\cdot\frac{8}{15}\cdot\frac{4}{10}\cdot\frac{6}{9}\cdot}\)
Wynik wychodzi dwa razy za mały, więc prawdopodobnie liczniki muszę pomnożyć przez dwa. Tylko dlaczeog?

[chris_f]

W swoich rachunkach uwzględniałeś kolejność losowania, gdy z którejś z urn miałeś dostać 1 białą i jedną czarną. Tak naprawdę mamy cztery możliwości:
bc|bb, cb|bb, bb|bc, bb|cb
z tym, że dwie pierwsze sytuacje otrzymamy z prawdopodobieństwami
\(\displaystyle{ \frac{4}{10}\cdot\frac{3}{9}\cdot\frac{8}{15}\cdot\frac{7}{15}}\)
dwie ostatnie
\(\displaystyle{ \frac{8}{15}\cdot\frac{8}{15}\cdot\frac{4}{10}\cdot\frac{6}{9}}\).
Stąd też każde z tych prawdopodobieństw tak naprawdę mnożymy przez dwa.

[tukanik]

hmm, w takim razie to zrobiłem nieświadomie. Zależało mi, żeby po prostu to policzyć z całkowitego, a tu się nigdy nie spotkałem, żeby należało jeszcze coś mnożyć, tzn. tylko prawdopodobieństwa. Gdzie konkretnie założyłem znaczenie kolejności i jak się o tym na następny raz kapnąć?

[chris_f]

Prawdopodobieństwo całkowite jest tu ukryte. Całe zdarzenie można rozbić na alternatywę dwóch rozłącznych zdarzeń:
z pierwszej urny jedna biała i jedna czarna i z drugiej urny dwie białe
albo
z pierwszej urny dwie białe i z drugiej urny jedna biała i jedna czarna.
Ale teraz w przypadku gdy jedna ma być biała, druga czarna to pojawiają się dwie możliwości: (najpierw wylosujemy białą, później czarną, albo odwrotnie).
Może najpierw dla pierwszej urny.
Losując pierwszą kulę, mamy, że będzie biała (B) lub czarna (C) z prawdopodobieństwami odpowiednio
\(\displaystyle{ \frac{4}{10}}\) i \(\displaystyle{ \frac{6}{10}}\).
Stąd też prawdopodobieństwo, że mamy różnokolorowe z pierwszej urny wynosi
\(\displaystyle{ \frac{4}{10}\cdot\frac{6}{9}+\frac{6}{10}\cdot\frac{4}{9}=2\cdot\frac{6\cdot4}{10\cdot9}}\)
Do tych różnokolorowych trzeba dolosować dwie białe z drugiej co da nam
\(\displaystyle{ 2\cdot\frac{6\cdot4}{10\cdot9}\cdot\frac{8}{15}\cdot\frac{8}{15}}\)

Teraz rozważamy sytuację, że różnokolorowe będą pochodziły z drugiej urny.
Znowu mamy dwie możliwości: najpierw biała albo najpierw czarna z prawdopodobieństwami
\(\displaystyle{ \frac{8}{15}\ {\rm i}\ \frac{7}{15}}\).
Teraz dolosowujemy drugą kulę i dostajemy różnokolorowe z prawdopodobieństwem
\(\displaystyle{ \frac{8}{15}\cdot\frac{7}{15}+\frac{7}{15}\cdot\frac{8}{15}=2\cdot\frac{7\cdot8}{15\cdot15}}\).
I znowu dolosowujemy z pierwszej urny dwie białe co da nam prawdopodobieństwo
\(\displaystyle{ 2\cdot\frac{7\cdot8}{15\cdot15}\cdot\frac{4}{10}\cdot\frac{3}{9}}\)

Jak widać w obu składnikach (takich jak u Ciebie) pojawiły się te dwójki.

[tukanik]

dzięki!
A jakbyśmy chcieli rozwiązywać to z prawdopodobieństwa całkowitego?