Iloczyn liczb podzielny przez 3

zwierze · Post autor: **zwierze** » 21 lut 2013, o 19:01

Spośród liczb naturalnych od 1 do 201 losujemy bez zwracania trzy liczby. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ich iloczyn jest podzielny przez 3

Proszę o pomoc, nie mam pojęcia jak się do tego zabrać ;/ Jeśli bez zwracania to moc zbioru omega to jest 199 * 200 * 201?

kominkowa · Post autor: **kominkowa** » 21 lut 2013, o 19:32

Wyznacz ilość liczb z tego przedziału podzielnych przez 3 (np. korzystając z własności ciągu arytmetycznego).
Podzielnych przez 3: 67 liczb.
Zauważ, że aby warunek był spełniony, wystarczy wylosować jedną podzielną przez 3. Stąd:
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{67 \cdot 200 \cdot 199}{201 \cdot 200 \cdot 199}= \frac{67}{201}}\)
Bez symbolu Newtona, najprostszą metodą: najpierw losujemy tę podzielną przez trzy, a potem dowolne (umniejszając 'pulę', bo bez zwracania).

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 21 lut 2013, o 19:35

Policz prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego.

kominkowa, to nie jest poprawne rozwiązanie.

kominkowa · Post autor: **kominkowa** » 21 lut 2013, o 19:37

Dlaczego?

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 21 lut 2013, o 19:40

Może się zdarzyć, że liczbę podzielną przez \(\displaystyle{ 3}\) wylosujemy dopiero za drugim razem. Może się też zdarzyć, że dopiero za trzecim. Trzeba do Twojego wyniku dodać prawdopodobieństwa tych zdarzeń.

kominkowa · Post autor: **kominkowa** » 21 lut 2013, o 19:47

Pardon, faktycznie.
Dzięki, norwimaj.
\(\displaystyle{ \frac{3512}{4977}}\)?

zwierze · Post autor: **zwierze** » 21 lut 2013, o 19:53

Mógł bym w takim razie prosić o dokładne obliczenia tutaj? W odpowiedziach jest wynik
0,70592964824120603015075376884422, A Twój różni się o bardzo niewiele, kilka odległych cyfr po przecinku jest innych. Nie wiem co to oznacza, czy można przyjąć że to to samo czy nie

0,70592964824120603015075376884422(odpowiedź)
0,70564597146875627888286116134217(Twój)

kominkowa · Post autor: **kominkowa** » 21 lut 2013, o 19:57

Zdarzenia przeciwne - losujesz tak, by iloczyn nie był podzielny przez 3, czyli trzy liczby spośród stu trzydziestu czterech liczb przezeń niepodzielnych. Potem korzystasz z własności \(\displaystyle{ P(A)=1-P(A')}\)

yorgin · Post autor: **yorgin** » 21 lut 2013, o 19:59

Najprostsze rozwiązanie.

Liczymy zdarzenie przeciwne - nie wylosowano żadnej liczby podzielnej przez trzy. Zdarzeń sprzyjających jest \(\displaystyle{ {134\choose 3}}\). Wszystkich zdarzeń jest \(\displaystyle{ {201\choose 3}}\).

Szukane prawdopodobieństwo:

\(\displaystyle{ 1-\frac{{134\choose 3}}{{201\choose 3}}\approx 0.705929}\)

zwierze · Post autor: **zwierze** » 21 lut 2013, o 20:14

Dziękuję bardzo za pomoc