Własności prawdopodobieństwa.

[Kacper20]

Chciałbym prosić o sprawdzenie sposobu rozwiązania.
Wydaje się logiczny, wyniki są dobre. Większość zadań tego typu rozwiązuje w taki sposób i chciałbym się dowiedzieć, czy faktycznie jest on dobry.Zadanie jest wręcz banalne, nie mniej jednak nie chciałbym robić czegoś w zły sposób:


\(\displaystyle{ A,B \subset \Omega}\) są zdarzeniami losowymi takimi, ze prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) jest trzy razy większe od prawdopodobieństwa zdarzenia \(\displaystyle{ B}\). Oblicz wartości tych prawdopodobieństw, wiedząc, że \(\displaystyle{ P\left( A ^{'} \setminus B \right)= \frac{1}{9}}\)oraz zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są rozłączne.
Robię to w taki sposób:
Rysuję przestrzeń \(\displaystyle{ \Omega}\) za pomocą schematów Vienna i zapisuję:
\(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są rozłączne\(\displaystyle{ \left( A \cap B\right)=\emptyset}\)
\(\displaystyle{ P\left(A ^{'} \setminus B ^{} \right)}\) to zdarzenia, które nie zawierają się ani w A ani w B czyli \(\displaystyle{ P\left( A ^{'} \cap B ^{'} \right)}\). Jeśli wynoszą one \(\displaystyle{ \frac{1}{9}}\) to pozostałe zdarzenia zawarte w \(\displaystyle{ \Omega}\) mają wartość \(\displaystyle{ \frac{8}{9}}\)
Korzystając z danych zawartych w zadaniu:
\(\displaystyle{ P\left(B\right)= 3P\left( A\right)}\)
\(\displaystyle{ P\left( A\right) + 3P\left( A\right) = \frac{8}{9}}\)

Czyli:
\(\displaystyle{ P\left( A\right) = \frac{2}{9}}\)

\(\displaystyle{ P\left( B\right) = \frac{6}{9}}\)

Co ewentualnie mam zmienić w sposobie zapisu? Mam to zadanie rozwiązane w odpowiedziach inaczej, ja lubię tak i chcę się dowiedzieć na ile to jest sensowne

Pozdrawiam

[lukasz1804]

Powinno być \(\displaystyle{ P(A)=3P(B)}\), więc \(\displaystyle{ P(A)=\frac{2}{3}, P(B)=\frac{2}{9}}\).

Zastanawiające jest to, na jakiej podstawie twierdzisz, że \(\displaystyle{ P(A)+P(B)=\frac{8}{9}}\) (ta równość jest prawdziwa, jednak wymaga ścisłego uzasadnienia).

[Kacper20]

Tak, ok. Tutaj mam błąd, nie zerknąłem na treść zadania wtedy, po prostu zakodowałem liczbę 3 i zmieniłem.
Właśnie tutaj mam pewien problem - jestem tego świadom, ale nie mam pojęcia jak to zapisać za pomocą własności prawdopodobieństwa. Pomozesz?

[lukasz1804]

\(\displaystyle{ 1=1-P(A\cap B)=P[(A\cap B)']=P(A'\cup B')=P(A')+P(B')-P(A'\cap B')=\big(1-P(A)\big)+\big(1-P(B)\big)-\frac{1}{9}}\)

[Kacper20]

Dzięki wielkie!

-- 23 lut 2013, o 17:17 --

Hej, mam pytanie.
W chwili gdy dostałbym na maturze zadanie w którym miałbym obliczać takie rzeczy: Jak poprawnym wyjściem jest korzystanie w całości z diagramów Venna?
Tzn: rozrysowanie całej przestrzeni, zaznaczenie przestrzeni wspólnych, rozpisanie tego i podanie odpowiedzi? W kluczach maturalnych widzę, ze dopuszcza się pracę na schematach ale w jakim stopniu? Wie ktoś może, albo się orientuje? Czy to zależy od widzimisię egzaminatora? Normalnie bym się nie przejmował - prawidłowy wynik, bez błędów to powinien być maks, ale rozumiem, że nie każdy to egzekwuje?