Nieskończenie wiele rzutów kostką.

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Math_s
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 339
Rejestracja: 23 paź 2012, o 18:59
Płeć: Kobieta
Podziękował: 52 razy

Nieskończenie wiele rzutów kostką.

Post autor: Math_s »

W grze bierze udział dwóch graczy, rzucając na przemian sześcienną kostką do gry. Grę wygrywa ten, który wyrzuci 6. Oblicz prawdopodobieństwo, że wygra ten z graczy, który rzuca jako pierwszy.

Bardzo proszę o pomoc, bo to drzewko jak się zastanowić ma nieskończenie wiele gałęzi. Próbowałam policzyć sumę zdarzenia przeciwnego, że nie wypadnie 6, to mam\(\displaystyle{ a _{n} = (\frac{5}{6})^{n}}\). Potem doszłam do wniosku, że to jest suma szeregu geometrycznego, tylko co tu jest czym?
jarek4700
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 939
Rejestracja: 26 gru 2009, o 17:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mazowsze
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 228 razy

Nieskończenie wiele rzutów kostką.

Post autor: jarek4700 »

\(\displaystyle{ A}\) - wygra gracz który rzucał kostką jako pierwszy.
\(\displaystyle{ B}\) - wygra drugi gracz.

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} + (\frac{5}{6}) ^{4} \cdot \frac{1}{6} + ... = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{1 - (\frac{5}{6}) ^{2} } = \frac{6}{11}}\)
\(\displaystyle{ P(B) = 1 - P(A) = \frac{5}{11}}\)
Piotr Rutkowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 390 razy

Nieskończenie wiele rzutów kostką.

Post autor: Piotr Rutkowski »

Niech gra odbywa się w turach \(\displaystyle{ 1,2,...}\). Niech \(\displaystyle{ P(X)}\) oznacza prawdopodobieństwo, że gracz pierwszy wygra, a \(\displaystyle{ P(X_{n}) \ n\in \mathbb{N}}\) prawdopodobieństwo, że wygra w n-tej turze. Oczywistym jest, że \(\displaystyle{ P(X)=\sum_{i=1}^{\infty}P(X_{2i-1})}\), bo rzuca on w nieparzystych turach. Co więcej prawdą jest, że \(\displaystyle{ P(X)=P(X_{1})+(1-P(X_{1})\cdot \frac{5}{6}\cdot P(X))}\), ponieważ jeśli obaj nie wygrają w swoich pierwszych rzutach, gra zaczyna się praktycznie od nowa. Rozwiązując powyższe równanie otrzymasz wynik \(\displaystyle{ \frac{6}{11}}\).
ODPOWIEDZ