Witam. Mam problem z jednym zadaniem, a mianowicie:
Mam zmienną \(\displaystyle{ (X,Y) ~ N(0,I)}\), gdzie I to macierz jednostkowa. Mam obliczyć \(\displaystyle{ E(X|X^{2}+Y^{2})}\).
Wiem, że muszę znaleźć rozkład warunkowy. Żeby to zrobić muszę mieć rozkład łączny zmiennej \(\displaystyle{ X}\) oraz \(\displaystyle{ X^{2}+Y^{2}}\), ale nie wiem jak go wyznaczyć. Mogę wyliczyć rozkład X i Y ale co mi to da? Nie wiem jak w ogóle przejść do kwadratów zmiennych. Proszę o jakąś wskazówkę
Rozkład warunkowy
-
Adifek
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
Rozkład warunkowy
W czym problem? Masz zmienne niezależne \(\displaystyle{ X, Y}\) na \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2}}\). \(\displaystyle{ \sigma (X^{2} + Y^{2}) = \sigma (\left\{ (x,y): \ x^{2}+y^{2}<t\right\} )}\). Czyli sigma ciało jest generowane przez okręgi. Stąd ponieważ rozkład naszego wektora jest symetryczny względem punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\), WWO powinna wyjść \(\displaystyle{ 0}\).
Sprawdźmy, że rzeczywiście tak jest:
Zgodnie z definicją WWO wystarczy policzyć całki po okręgach:
\(\displaystyle{ \int_{\left\{ X^{2}+Y^{2}<t\right\}}X \ \mbox{d}\mathbb{P} = \int_{\left\{ X^{2}+Y^{2}<t\right\}} \mathbb{E}(X|X^{2}+Y^{2}) \ \mbox{d}\mathbb{P}}\)
Wiemy z odpowiedniego twierdzenia, ze całka z prawej jest równa
\(\displaystyle{ \int_{\left\{ X^{2}+Y^{2}<t\right\}}h(X^{2}+Y^{2}) \ \mbox{d}\mathbb{P}}\)
dla pewnej \(\displaystyle{ h}\) borelowskiej.
Przechodząc z abstrakcyjnych całek do rozkładów mamy:
\(\displaystyle{ \iint_{\left\{ x^{2}+y^{2}<t\right\}}x \cdot \frac{1}{2 \pi} e^{ \frac{x^{2}+y^{2}}{2} } \ \mbox{d}x \mbox{d}y =\iint_{\left\{ x^{2}+y^{2}<t\right\}}h(x^{2}+y^{2}) \cdot \frac{1}{2 \pi} e^{ \frac{x^{2}+y^{2}}{2} } \ \mbox{d}x \mbox{d}y}\)
Upraszczając i przechodząc do współrzędnych biegunowych:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{t}r\cos \varphi \cdot e^{ \frac{r^{2}}{2} } \ \mbox{d}r \mbox{d}\varphi = 2\pi \int_{0}^{t} h(r^{2}) \cdot e^{ \frac{r^{2}}{2} } \ \mbox{d}r}\)
Całka z lewej się zeruje ze względu na cosinus:
\(\displaystyle{ 0= 2\pi \int_{0}^{t} h(r^{2}) \cdot e^{ \frac{r^{2}}{2} } \ \mbox{d}r}\)
Różniczkując obustronnie po \(\displaystyle{ t}\) dostajemy:
\(\displaystyle{ 0= 2\pi h(t^{2}) \cdot e^{ \frac{t^{2}}{2} }}\)
Stąd \(\displaystyle{ h(t)=0}\), a zatem \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X|X^{2}+Y^{2})=0}\).
Jak widać to sporo liczenia. Tak więc zawsze najlepiej chwilkę się zastanowić i spróbować coś wyczarować z takiego rozumowania jak napisałem na samym początku.
Sprawdźmy, że rzeczywiście tak jest:
Zgodnie z definicją WWO wystarczy policzyć całki po okręgach:
\(\displaystyle{ \int_{\left\{ X^{2}+Y^{2}<t\right\}}X \ \mbox{d}\mathbb{P} = \int_{\left\{ X^{2}+Y^{2}<t\right\}} \mathbb{E}(X|X^{2}+Y^{2}) \ \mbox{d}\mathbb{P}}\)
Wiemy z odpowiedniego twierdzenia, ze całka z prawej jest równa
\(\displaystyle{ \int_{\left\{ X^{2}+Y^{2}<t\right\}}h(X^{2}+Y^{2}) \ \mbox{d}\mathbb{P}}\)
dla pewnej \(\displaystyle{ h}\) borelowskiej.
Przechodząc z abstrakcyjnych całek do rozkładów mamy:
\(\displaystyle{ \iint_{\left\{ x^{2}+y^{2}<t\right\}}x \cdot \frac{1}{2 \pi} e^{ \frac{x^{2}+y^{2}}{2} } \ \mbox{d}x \mbox{d}y =\iint_{\left\{ x^{2}+y^{2}<t\right\}}h(x^{2}+y^{2}) \cdot \frac{1}{2 \pi} e^{ \frac{x^{2}+y^{2}}{2} } \ \mbox{d}x \mbox{d}y}\)
Upraszczając i przechodząc do współrzędnych biegunowych:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{t}r\cos \varphi \cdot e^{ \frac{r^{2}}{2} } \ \mbox{d}r \mbox{d}\varphi = 2\pi \int_{0}^{t} h(r^{2}) \cdot e^{ \frac{r^{2}}{2} } \ \mbox{d}r}\)
Całka z lewej się zeruje ze względu na cosinus:
\(\displaystyle{ 0= 2\pi \int_{0}^{t} h(r^{2}) \cdot e^{ \frac{r^{2}}{2} } \ \mbox{d}r}\)
Różniczkując obustronnie po \(\displaystyle{ t}\) dostajemy:
\(\displaystyle{ 0= 2\pi h(t^{2}) \cdot e^{ \frac{t^{2}}{2} }}\)
Stąd \(\displaystyle{ h(t)=0}\), a zatem \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X|X^{2}+Y^{2})=0}\).
Jak widać to sporo liczenia. Tak więc zawsze najlepiej chwilkę się zastanowić i spróbować coś wyczarować z takiego rozumowania jak napisałem na samym początku.