drugi moment zwykły rozkładu Poissona

[Studentka_mat]

Wyznaczyć za pomocą funkcji charakterystycznych drugi moment zwykły rozkładu Poissona.
Poproszę o jakieś wskazówki. Nie robiliśmy takiego typu zadań na ćwiczeniach.

[lokas]

A w czym kłopot, zerknij do wykładu na zależność f.charakterystcznej i momentów

[Studentka_mat]

czy to chodzi o ten wzór?
\(\displaystyle{ M_X(t)=Ee^{tx}}\)
Jeśli tak to nie wiem jak to zastosować.

[lokas]

czy to chodzi o ten wzór?
\(\displaystyle{ M_X(t)=Ee^{tx}}\)
Jeśli tak to nie wiem jak to zastosować.

To jest wzór na FGM, a ty masz f.charakterystyczną wyliczyć, wzór jest dość podobny..

[Studentka_mat]

W takim razie nie wiem jaki powinien być wzór. Proszę o pomoc

[Studentka1992]

Funkcja charakterystyczna dal rozkładu Poissona wygląda tak:
\(\displaystyle{ \varphi(t)=e^{-\lamda\left( 1-e^{it}\right)}}\)

Mamy następującą zależność :

\(\displaystyle{ EX^{r}=\frac{1}{i^{r}} \cdot \varphi^{(r)}(0)}\)

liczysz sobie najpierw pierwszą pochodną po t z funkcji charakterystycznej, i wychodzi Ci

\(\displaystyle{ \varphi^{(1)}(t)=e^{-\lamda\left( 1-e^{it}\right)} \cdot \lambda \cdot e^{it} \cdot i}\)

\(\displaystyle{ \varphi^{(2)}(t)=-\lambda \cdot e^{it-\lambda+\lambda \cdot e^{it}} \cdot \left( \lambda \cdot e^{it}+1\right)}\)

stąd mamy wartość drugiej pochodnej w punkcie \(\displaystyle{ 0}\) równą \(\displaystyle{ -\lambda^2-\lambda}\)

podstawiając do wzoru mamu:
\(\displaystyle{ EX^2=\frac{1}{i^2} \cdot \left( -\lambda^2-\lambda\right)=\lambda^2+\lambda}\)

[Studentka_mat]

skąd się ta lambda wzięła?

[matpol]

\(\displaystyle{ \lambda}\) to przecież parametr rozkładu Poissona

[lokas]

Funkcja charakterystyczna dal rozkładu Poissona wygląda tak:
\(\displaystyle{ \varphi(t)=e^{-\lamda\left( 1-e^{it}\right)}}\)

Nie powiedział bym, że tak wygląda..

[Studentka_mat]

No więc jak powinno być poprawnie?