Moduł funkcji charakterystycznej rózny od 1.
-
tometomek91
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
Moduł funkcji charakterystycznej rózny od 1.
Wykaż, że funkcja charakterystyczna \(\displaystyle{ \varphi(t)}\) rozkładu ciągłego ma moduł mniejszy od jedynki dla \(\displaystyle{ t \neq 0}\)
-
Wasilewski
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Moduł funkcji charakterystycznej rózny od 1.
Jeśli w pewnym punkcie \(\displaystyle{ t_{0}}\) byłoby inaczej, to oznaczałoby, że w nierówności
\(\displaystyle{ |\int_{\mathbb{R}} e^{it_{0}x}d\mu_{X}(x)| \leqslant \int_{\mathbb{R}} |e^{it_{0}x}|d\mu_{X}(x)=1}\)
zachodzi równość, a zatem rozkład \(\displaystyle{ X}\) jest skupiony na pewnym dyskretnym zbiorze \(\displaystyle{ x_{0} + 2\pi \mathbb{Z}}\), co przeczy ciągłości.
\(\displaystyle{ |\int_{\mathbb{R}} e^{it_{0}x}d\mu_{X}(x)| \leqslant \int_{\mathbb{R}} |e^{it_{0}x}|d\mu_{X}(x)=1}\)
zachodzi równość, a zatem rozkład \(\displaystyle{ X}\) jest skupiony na pewnym dyskretnym zbiorze \(\displaystyle{ x_{0} + 2\pi \mathbb{Z}}\), co przeczy ciągłości.