Iloczyn dwóch zmiennych losowych niezależnych

[fon_nojman]

Mamy cztery jednakowo rozłożone niezależne zmienne losowe \(\displaystyle{ X_1,X_2,X_3,X_4.}\)

1) Wiadomo, że suma \(\displaystyle{ X_1+X_2}\) ma taki sam rozkład jak \(\displaystyle{ X_3+X_4}\) (łatwo pokazać przez funkcje charakterystyczne).

2) Wiadomo, że jeżeli \(\displaystyle{ X_1>0}\) to \(\displaystyle{ X_1 X_2}\) ma taki sam rozkład jak \(\displaystyle{ X_3 X_4}\) (pokazujemy np przez przyłożenie logarytmu i skorzystanie z 2).

3) Jeżeli \(\displaystyle{ X_1}\) będzie mieć rozkład ciągły lub dyskretny to jakoś by się pokazało, że \(\displaystyle{ X_1 X_2}\) i \(\displaystyle{ X_3 X_4}\) mają te same rozkłady.

Pytanie:

4) Co w ogólnym przypadku, gdy nie wiemy nic o rozkładzie, rodzaju rozkładu zmiennej \(\displaystyle{ X_1,}\) czy \(\displaystyle{ X_1 X_2}\) i \(\displaystyle{ X_3 X_4}\) mają ten sam rozkład?

[Wasilewski]

Łączny rozkład wektorów \(\displaystyle{ (X_{1},X_{2})}\) oraz \(\displaystyle{ (X_{3},X_{4})}\) jest taki sam (produkt rozkładów). Zarówno rozkład \(\displaystyle{ X_{1}X_{2}}\), jak i rozkład \(\displaystyle{ X_{3}X_{4}}\) jest obrazem tej miary produktowej przy odwzorowaniu \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2} \ni (x,y) \mapsto xy \in \mathbb{R}}\), zatem siłą rzeczy jest to ten sam obiekt.

[fon_nojman]

Dziękuję za odpowiedz, sam nie wiem co ja kombinowałem.