Zdarzenia niezależne zespołowo

darek88 · Post autor: **darek88** » 9 lut 2013, o 12:05

Czy ktoś mógłby dokładnie wyjaśnić zagadnienie "zdarzenia niezależne zespołowo"?

Nerevar · Post autor: **Nerevar** » 10 lut 2013, o 10:51

Dwa zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) (\(\displaystyle{ P(A)>0}\) i \(\displaystyle{ P(B) > 0}\)) są niezależne gdy:
\(\displaystyle{ {P(A|B)=P(A)} \wedge {P(B|A)=P(B)}}\)
Warunek wystarczający i konieczny niezależności:
\(\displaystyle{ P(A \cap B) = P(A)P(B)}\)
Dwa zdarzenia są niezależne wtedy i tylko wtedy gdy prawdopodobieństwo iloczynu dwóch zdarzeń jest równe iloczynowi ich prawdopodobieństw.

Zdarzenia \(\displaystyle{ A_1, A_2, ..., A_n \subset \Omega}\) nazywamy niezależnymi zespołowo, jeżeli prawdopodobieństwo iloczynu dowolnej liczby różnych spośród nich jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń.

Czyli przykładowo zdarzenia \(\displaystyle{ A_1, A_2, A_3 \subset \Omega}\) są niezależne zespołowo, gdy spełnione są jednocześnie następujące warunki:
\(\displaystyle{ P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \cdot P(A_2)}\)
\(\displaystyle{ P(A_1 \cap A_3) = P(A_1) \cdot P(A_3)}\)
\(\displaystyle{ P(A_2 \cap A_3) = P(A_2) \cdot P(A_3)}\)
\(\displaystyle{ P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3)}\)

darek88 · Post autor: **darek88** » 10 lut 2013, o 18:00

Rozumiem, iż należy sprawdzić powyższe równości dla wszystkich możliwych "zespołów", czyli matematycznie ujmując, permutacji utworzonych z danego zespołu zdarzeń (bez tych jednoelementowych). Na przykład dla A1, A2 oraz A3 są to: A1 oraz A2, A1 oraz A3 oraz A2 oraz A3 bez względu na kolejność występowania zdarzeń.

Nerevar · Post autor: **Nerevar** » 10 lut 2013, o 19:16

Mnożenie jest przemienne więc kolejność nie ma tu znaczenia.

darek88 · Post autor: **darek88** » 13 lut 2013, o 18:24

Czy w przypadku prawdopodobieństwa obowiązują takie same zasady wykonywania działań, jak w przypadku działań arytmetycznych?-- 13 lutego 2013, 18:24 --Czy w przypadku prawdopodobieństwa obowiązują takie same zasady wykonywania działań, jak w przypadku działań arytmetycznych?

Nerevar · Post autor: **Nerevar** » 13 lut 2013, o 18:41

Tak, obowiązują te same zasady, ponieważ prawdopodobieństwo jest liczbą więc oczywiste jest, że \(\displaystyle{ P(A)P(B) = P(B)P(A)}\) jeżeli pytasz o sumę lub iloczyn zdarzeń również "działa" przemienność czyli \(\displaystyle{ A \cap B = B \cap A}\)
polecam zajrzeć