Obliczyć funkcję charakterystyczną zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=X_{1}+X_{2}}\) gdzie \(\displaystyle{ X_{1}}\) i \(\displaystyle{ X_{2}}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o gęstości \(\displaystyle{ f\left( x\right) = 4xI_{\left[ 0, \frac{1}{2} \right] }+\left( 4-4x\right)I_{\left( \frac{1}{2}, 1 \right] }}\)
Bardzo proszę o pomoc.
funkcje charakterystyczne
-
- Użytkownik
- Posty: 179
- Rejestracja: 8 sty 2012, o 12:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 3 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 218
- Rejestracja: 20 gru 2007, o 12:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Londyn
- Pomógł: 39 razy
funkcje charakterystyczne
Easy. Funkcja charakterystyczna sumy niezaleznych zmiennych losowych o tym samym rozkladzie jest iloczynem funkcji charakt. dla tych zmiennych, a poniewaz maja ten sam rozklad, wiec bedzie to (w tym przypadku druga) potega funkcji charakt. dla dowolnej z tych zmiennych. Zatem
\(\displaystyle{ h(t) = E(\exp(it(X_1 + X_2))) = E(\exp(itX_1)\cdot\exp(itX_2)) = \left(E(\exp(itX_1))\right)^2}\).
Wystarczy zatem znalezc \(\displaystyle{ E(\exp(itX_1))}\). A to jest rowne:
\(\displaystyle{ \int \exp(itx) f(x) \,dx = \\
\int_{0}^{\frac{1}{2}} \cos(tx) 4x \,dx + i\int_{0}^{\frac{1}{2}} \sin(tx) 4x\,dx + \\
\int_{\frac{1}{2}}^{1} \cos(tx) 4(1-x) \,dx + i\int_{\frac{1}{2}}^{1} \sin(tx) 4(1-x)\,dx}\).
Gdzie \(\displaystyle{ t}\) jest oczywiscie parametrem. Dalej dasz rady sam(a).
\(\displaystyle{ h(t) = E(\exp(it(X_1 + X_2))) = E(\exp(itX_1)\cdot\exp(itX_2)) = \left(E(\exp(itX_1))\right)^2}\).
Wystarczy zatem znalezc \(\displaystyle{ E(\exp(itX_1))}\). A to jest rowne:
\(\displaystyle{ \int \exp(itx) f(x) \,dx = \\
\int_{0}^{\frac{1}{2}} \cos(tx) 4x \,dx + i\int_{0}^{\frac{1}{2}} \sin(tx) 4x\,dx + \\
\int_{\frac{1}{2}}^{1} \cos(tx) 4(1-x) \,dx + i\int_{\frac{1}{2}}^{1} \sin(tx) 4(1-x)\,dx}\).
Gdzie \(\displaystyle{ t}\) jest oczywiscie parametrem. Dalej dasz rady sam(a).