funkcje charakterystyczne

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
sympatia17
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 179
Rejestracja: 8 sty 2012, o 12:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 3 razy

funkcje charakterystyczne

Post autor: sympatia17 »

Obliczyć funkcję charakterystyczną zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=X_{1}+X_{2}}\) gdzie \(\displaystyle{ X_{1}}\) i \(\displaystyle{ X_{2}}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o gęstości \(\displaystyle{ f\left( x\right) = 4xI_{\left[ 0, \frac{1}{2} \right] }+\left( 4-4x\right)I_{\left( \frac{1}{2}, 1 \right] }}\)


Bardzo proszę o pomoc.
darlove
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 218
Rejestracja: 20 gru 2007, o 12:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Londyn
Pomógł: 39 razy

funkcje charakterystyczne

Post autor: darlove »

Easy. Funkcja charakterystyczna sumy niezaleznych zmiennych losowych o tym samym rozkladzie jest iloczynem funkcji charakt. dla tych zmiennych, a poniewaz maja ten sam rozklad, wiec bedzie to (w tym przypadku druga) potega funkcji charakt. dla dowolnej z tych zmiennych. Zatem

\(\displaystyle{ h(t) = E(\exp(it(X_1 + X_2))) = E(\exp(itX_1)\cdot\exp(itX_2)) = \left(E(\exp(itX_1))\right)^2}\).

Wystarczy zatem znalezc \(\displaystyle{ E(\exp(itX_1))}\). A to jest rowne:

\(\displaystyle{ \int \exp(itx) f(x) \,dx = \\
\int_{0}^{\frac{1}{2}} \cos(tx) 4x \,dx + i\int_{0}^{\frac{1}{2}} \sin(tx) 4x\,dx + \\
\int_{\frac{1}{2}}^{1} \cos(tx) 4(1-x) \,dx + i\int_{\frac{1}{2}}^{1} \sin(tx) 4(1-x)\,dx}\)
.

Gdzie \(\displaystyle{ t}\) jest oczywiscie parametrem. Dalej dasz rady sam(a).
ODPOWIEDZ