urny i kule, równość prawdopodobieństw

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
davidd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 375
Rejestracja: 15 wrz 2011, o 20:05
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 122 razy

urny i kule, równość prawdopodobieństw

Post autor: davidd »

W urnie jest \(\displaystyle{ 10}\) kul białych i \(\displaystyle{ 5}\) czarnych. Losujemy dwukrotnie po jednej kuli bez zwracania. Niech \(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie polegające na wylosowaniu \(\displaystyle{ 2}\) kul różnokolorowych i \(\displaystyle{ B}\) - zdarzenie polegające na wylosowaniu \(\displaystyle{ 2}\) kul tego samego koloru. Ile kul czarnych trzeba dołożyć do urny, aby \(\displaystyle{ P(A) = P(B)}\)?

\(\displaystyle{ 10}\) - ilość kul białych
\(\displaystyle{ 5 + n}\) - taka ilość kul czarnych aby \(\displaystyle{ P(A) = P(B)}\)
\(\displaystyle{ 15 + n}\) - taka ilość wszystkich kul dla których \(\displaystyle{ P(A) = P(B)}\)


\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}}\) = \(\displaystyle{ \frac{(15 +n)!}{2! \cdot (13+n)!} = \frac{(14+n) \cdot (15+n)}{2}}\)

\(\displaystyle{ A = \frac{10!}{9!} + \frac{(5+n)!}{(4+n)!} = n + 15}\)

\(\displaystyle{ B = \frac{10!}{2! \cdot 8!} + \frac{(5+n)!}{2! \cdot (3+n)!} = ...}\)


Czy moje założenia są dobre? Jak porównuje prawdopodobieństwa, to coś nie wychodzi...
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

urny i kule, równość prawdopodobieństw

Post autor: norwimaj »

\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}=10\cdot(5+n)}\).
Nerevar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 7 lut 2013, o 13:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 3 razy

urny i kule, równość prawdopodobieństw

Post autor: Nerevar »

Założenia masz dobre, rzeczywiście kul białych będzie \(\displaystyle{ 10}\), a kul czarnych \(\displaystyle{ 5 + n}\) czyli w sumie \(\displaystyle{ 15 + n}\) wszystkich, jednak nie bardzo wiem co ty liczysz, żeby obliczyć n musisz przyrównać do siebie \(\displaystyle{ P(A)}\) i \(\displaystyle{ P(B)}\) i rozwiązać równanie z jedną niewiadomą(tak naprawdę wystarczy przyrównać \(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}}\) i \(\displaystyle{ \overline{\overline{B}}}\), bo \(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}}\) i tak się skróci) \(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}}\) policzysz tak jak napisał przedmówca, \(\displaystyle{ \overline{\overline{B}}}\) analogicznie.
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

urny i kule, równość prawdopodobieństw

Post autor: norwimaj »

Ale \(\displaystyle{ \overline{\overline{B}}}\) jest dobrze policzone. Zresztą najszybciej będzie rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}=\frac12\cdot\overline{\overline{\Omega}}}\).
davidd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 375
Rejestracja: 15 wrz 2011, o 20:05
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 122 razy

urny i kule, równość prawdopodobieństw

Post autor: davidd »

Źle policzyłem \(\displaystyle{ A}\).-- 8 lut 2013, o 15:28 --hmm.. po obliczeniach wychodzi mi:



Coś źle?
Nerevar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 7 lut 2013, o 13:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 3 razy

urny i kule, równość prawdopodobieństw

Post autor: Nerevar »

Rozumiem, że zakładasz, że kolejność wylosowanych kul nie ma znaczenia, wtedy:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}} = {{10} \choose {1}} {{5+n} \choose {1}}}\)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{B}} = {{10} \choose {2}} + {{5+n} \choose {2}}}\)
Teraz wystarczy to przyrównać, wyjdzie ci równanie kwadratowe, policzysz i masz wynik.
davidd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 375
Rejestracja: 15 wrz 2011, o 20:05
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 122 razy

urny i kule, równość prawdopodobieństw

Post autor: davidd »

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{20}{14+n}}\)


\(\displaystyle{ P(B) = \frac{(4+n) (5+n) + 90}{(14+n) (15+n)}}\)


Jak to porównuje to wychodzi mi równanie trzeciego stopnia :/
Nerevar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 7 lut 2013, o 13:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 3 razy

urny i kule, równość prawdopodobieństw

Post autor: Nerevar »

Powinno być tak:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}} = {{10} \choose {1}} {{5+n} \choose {1}} = 10 \cdot (5 + n) = 10n + 50}\)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{B}} = {{10} \choose {2}} + {{5+n} \choose {2}} = \frac{10!}{8! \cdot 2!} + \frac{(n+5)!}{(n+3)!\cdot 2!} = 45 + \frac{(n+4)(n+5)}{2}}\)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}} ={{15+n} \choose {1}}{{14+n} \choose {1}} = (15+n)(14+n)}\)
Przyrównujesz:
\(\displaystyle{ \frac{10n + 50} {(15+n)(14+n)} = \frac{45 + {\frac{(n+4)(n+5)}{2}}}{(15+n)(14+n)}}\)
Wystarczy poprzekształcać i rozwiązać równanie.
ODPOWIEDZ