rozkład wykładniczy

[sympatia17]

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ \lambda=4}\). Znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y= \sqrt{X}}\). Wyznaczyć wartość oczekiwaną zmiennej \(\displaystyle{ Y}\).

Proszę o pomoc.

[pawellogrd]

\(\displaystyle{ F_X(x)}\) to dystrybuanta rozkładu wykładniczego o parametrze \(\displaystyle{ \lambda=4}\) czyli \(\displaystyle{ F_X(x)=1-e^{-\lambda x}=1-e^{-4x}}\)

Znajdźmy szukaną dystrybuantę:

\(\displaystyle{ F_Y(y) = P(Y < y) = P(\sqrt{X} < y) = P (X < y^2) = F_X(y^2) = 1-e^{-4y^2}}\)

A wartością oczekiwanego dla tego rozkładu jest \(\displaystyle{ \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{4}}\)

Jeżeli chcesz obliczyć wartość oczekiwaną ze wzoru to musisz znaleźć gęstość, która jest po prostu pochodną dystrybuanty, a dalej już tylko wstawić do wzoru na wartość oczekiwaną i obliczyć.

[sympatia17]

Czyli wartość oczekiwana jest równa \(\displaystyle{ 4}\) zarówno dla zmiennej \(\displaystyle{ X}\) jak i \(\displaystyle{ Y}\)?

Dziękuję za pomoc. Od razu wszystko stało się jasne.

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ F_Y(y) = P(Y < y) = P(\sqrt{X} < y) = P (X < y^2) = F_X(y^2) = 1-e^{-4y^2}}\)

To nie jest prawda. Na przykład dla y=-1

[matpol]

Skoro jest źle to jak powinno być?

[miodzio1988]

zalozenia trzeba napisac

[pawellogrd]

To raczej oczywiste, że mając \(\displaystyle{ Y=\sqrt{X}}\) zakładamy, że \(\displaystyle{ X \ge 0}\) (pierwiastek kwadratowy z liczby rzeczywistej oznacza, że liczba ta jest nieujemna) oraz \(\displaystyle{ Y \ge 0}\)

A jeśli chodzi o wartość oczekiwaną to tak - będzie taka sama dla obu zmiennych, bo:

\(\displaystyle{ E(Y)=E(\sqrt{X})=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{4}}\)

Tak samo oczywiście wyjdzie jak policzysz z definicji wartość oczekiwaną, tak jak pisałem.

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ E(Y)=E(\sqrt{X})=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{4}}\)

Od kiedy coś takiego zachodzi?

[pawellogrd]

\(\displaystyle{ E(Y)=E(\sqrt{X})=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{4}}\)

Od kiedy coś takiego zachodzi?

Tak mnie uczono na studiach, więc raczej byłem przekonany, że tak jest. Czy tak jest, czy nie, tutaj i tak wartość oczekiwana się nie zmieni.

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ E(Y)=E(\sqrt{X})=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{4}}\)

Od kiedy coś takiego zachodzi?

Tak mnie uczono na studiach, więc raczej byłem przekonany, że tak jest. Czy tak jest, czy nie, tutaj i tak wartość oczekiwana się nie zmieni.

Właśnie, że się zmieni. Oba zmienne nie mają takiej samej wartości oczekiwanej.

[matpol]

To może wskażesz prawidłową odpowiedź, zamiast wytykać błędy?

[Nakahed90]

To może wskażesz prawidłową odpowiedź, zamiast wytykać błędy?

Dlaczego mam od razu gotową odpowiedź podawać? Taka własność, nie zachodzi, więc trzeba liczyć wprost z definicji wartości oczekiwanej.

[yorgin]

Dystrybuanta ma wzór

\(\displaystyle{ F_Y(y)= \begin{cases} 0 & y\leq 0 \\ 1-e^{-4y^2}, & y>0\end{cases}}\)

A więc gęstość dana jest wzorem

\(\displaystyle{ f_Y(y)= \begin{cases} 0 & y\leq 0 \\ 8ye^{-4y^2}, & y>0\end{cases}}\)

Czyli wartość oczekiwana wynosi

\(\displaystyle{ E(Y)=\int_0^{+\infty}8y^2e^{-4y^2}dy=\ldots=\frac{\sqrt{\pi}}{4}}\)

itd