gęstość-zmienne losowe dwuwymiarowe

[Studentka1992]

Proszę o pomoc, i dokładne rozwiązanie:

Zmienne losowe \(\displaystyle{ X \ \ i \ \ Y}\) są niezależne o jednakowym rozkładzie jednostajnym na przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\). Wyznaczyć gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z=\min\left\{ {X,Y}\right\}}\)

[pyzol]

\(\displaystyle{ P(Z > t)=P(X>t \wedge Y>t)}\)

[Studentka1992]

i co mam z tym zrobić?

[pyzol]

\(\displaystyle{ P(Z \le t)}\)
to dystrybuanta, a jak uzyskać gęstość z dytrybuanty, to chyba wiesz

[Studentka1992]

wiem, jak uzyskać gęstość z dystrybuanty. Ale nie widzę jak obliczyć ta dystrybuatnę

[pyzol]

\(\displaystyle{ P(Z \le t)=1-P(Z>t)=1-P(X>t,Y>t)=1-P(X>t)P(Y>t)}\)
Musisz tylko znaleźć ile wynosi \(\displaystyle{ P(X>t),P(Y>t)}\)

[Studentka1992]

Czy powinno wyjść


\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 0, \ \ \ dla \ z <0 \\ 2z, \ \ dla \ 0 \lez \le 1 \\ 0 \ \ \ dla z>1 \end{cases}}\)

[pyzol]

Nie, co podstawiłaś?

[Studentka1992]

zrobiłam to tak:

zmienne \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) mają jednakowe dystrybuanty :

\(\displaystyle{ F_{1}(x)=F_{1}(y)= \begin{cases} 0 \ \ dla \ \ x<0 \\ x \ \ dla \ 0 \le x \le 1 \\ 1 \ \ dla \ x>1 \end{cases}}\)

szukam dystrybuanty\(\displaystyle{ F}\) zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z=\min{(X,Y)}}\)

\(\displaystyle{ F(z)=P\left[ \min{(X,Y)}<z\right] =P\left[ X<z,Y<z\right]}\)
z niezlaeżności zmiennych X,Y mam:
\(\displaystyle{ F(z)=P\left[ X<z\right] \cdot P\left[ Y<z\right] =\left[ F_{1}(z)\right]^2= \ \begin{cases} 0 \ \ dla \ \ z<0 \\ z^2 \ \ dla \ 0 \le z \le 1 \\ 1 \ \ dla \ z>1 \end{cases}}\)


teraz wykorzystując\(\displaystyle{ f(x)=F'(x)}\)

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 0 \ \ dla \ \ z<0 \\ 2z \ \ dla \ 0 \le z \le 1 \\ 0 \ \ dla \ z>1 \end{cases}}\)

co zrobiłam nie tak?

[pyzol]

\(\displaystyle{ F(z)=P\left[ \min{(X,Y)}<z\right] =P\left[ X<z,Y<z\right]}\)

A jak to się miewa do tego co napisałem?
Masz do policzenia prawdopodobieństwo:
\(\displaystyle{ P\left(\min(X,Y) \le t \right)}\)
Aby ta nierówność była spełniona wystarczy, że jedna ze zmiennych będzie mniejsza od \(\displaystyle{ t}\), druga może być większa, bo bierzemy minimum.
Natomiast jeśli mamy prawdopodobieństwo:
\(\displaystyle{ P\left(\min(X,Y)>t \right)}\) to obie zmienne muszą spełniać nierówność, gdyż mniejsza z nich musi być większa.
Trzeba więc przekształcić wzór \(\displaystyle{ P(Z \le t)}\) w sposób jaki napisałem, aby skorzystać z niezależności.

[Studentka1992]

Juz widze. Dzięki. mógłbyś mi napisac jak ostatecznie ma mi wyjść?

[pyzol]

\(\displaystyle{ 2-2x}\).
Ponieważ mamy minimum, to łatwiej nam trafić mniejsze liczby, więc intuicyjnie gęstość tam powinna być większa.

[murfy]

Musisz tylko znaleźć ile wynosi \(\displaystyle{ P(X>t),P(Y>t)}\)

Jak to znaleźć?
Zgubiłam się w momencie:
\(\displaystyle{ ... = 1-P(X>t)P(Y>t)=...}\)

[pyzol]

Wzór na prawdopodobieństwo przeciwne oraz na dystrybuantę rozkładu jednostajnego. Bądź też narysuj sobie.

[murfy]

Ok, już mam.
A jak policzyć dla zmiennej \(\displaystyle{ Z=X+Y}\)?