Niech \(\displaystyle{ \Omega=\left[ 0,3\right]}\) i\(\displaystyle{ X: \Omega \rightarrow \RR}\) będzie funkcją określoną następująco:
\(\displaystyle{ X\left( \omega\right) = \begin{cases} \omega, \omega \in \left[ 0, 1\right] \\ 1, \omega \in \left( 1,2\right] \\ 3- \omega, \omega \in \left( 2, 3\right] \end{cases}}\)
Niech \(\displaystyle{ P}\) będzie unormowaną miarą Lebesgue'a na \(\displaystyle{ \Omega}\).
Wykazac, że \(\displaystyle{ X}\) jest zmienną losową i wyznaczyc rokzład tej zmiennej losowej.
Bardzo proszę o pomoc, jeżeli będzie trzeba, to wstawię swoje rozwiązanie pierwszej części zadania - wydaje mi się że wiem jak to wykazać, ale wyszły mi dziwne przedziały. Natomiast jak wyznaczyć rozkład - nie wiem. Mam nadzieję, że ktoś mi pomoże.
zmienna losowa
-
szw1710
zmienna losowa
To, że jest to zmienna losowa, jest trywialne. Zmienna losowa to funkcja mierzalna. A nasza funkcja \(\displaystyle{ X}\) jest nawet ciągła. Funkcje ciągłe są mierzalne. Oczywiście w takim sformułowaniu przyjmuje się sigma-ciało zbiorów borelowskich w dziedzinie.
Co do rozkładu, trzeba wyznaczyć gęstość lub dystrybuantę. Najlepiej i chyba najłatwiej dystrybuantę. Rozważ różne przypadki. Jeśli \(\displaystyle{ F}\) jet tą dystrybuantą, mamy \(\displaystyle{ \,F(x)=P(X<x)}\). Prawdopodobieństwem tym jest właśnie unormowana miara Lebesgue'a.
Pokażę Ci jak policzyć \(\displaystyle{ F(0.5)=P(X<0.5)}\). Mianowicie \(\displaystyle{ X(\omega)<0.5\iff \omega\in [0;0.5)\cup (2.5;3]}\). Miara Lebesgue'a tego zbioru to \(\displaystyle{ 1}\), ale po unormowaniu (dzielenie przez \(\displaystyle{ 3}\)) mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\). A więc \(\displaystyle{ F(0.5)=\frac{1}{3}}\). I tak dalej. Rozumuj tak w przypadku dowolnego \(\displaystyle{ x\in(0,1]}\). Zrób odpowiedni rysunek (wykres funkcji \(\displaystyle{ X}\)), jak i ja zrobiłem.
Są też dwa inne przypadki.
Co do rozkładu, trzeba wyznaczyć gęstość lub dystrybuantę. Najlepiej i chyba najłatwiej dystrybuantę. Rozważ różne przypadki. Jeśli \(\displaystyle{ F}\) jet tą dystrybuantą, mamy \(\displaystyle{ \,F(x)=P(X<x)}\). Prawdopodobieństwem tym jest właśnie unormowana miara Lebesgue'a.
Pokażę Ci jak policzyć \(\displaystyle{ F(0.5)=P(X<0.5)}\). Mianowicie \(\displaystyle{ X(\omega)<0.5\iff \omega\in [0;0.5)\cup (2.5;3]}\). Miara Lebesgue'a tego zbioru to \(\displaystyle{ 1}\), ale po unormowaniu (dzielenie przez \(\displaystyle{ 3}\)) mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\). A więc \(\displaystyle{ F(0.5)=\frac{1}{3}}\). I tak dalej. Rozumuj tak w przypadku dowolnego \(\displaystyle{ x\in(0,1]}\). Zrób odpowiedni rysunek (wykres funkcji \(\displaystyle{ X}\)), jak i ja zrobiłem.
Są też dwa inne przypadki.