Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej Y znając rozkład X

[IgorS]

Witam.

Trafiłem na zadanie którego kompletnie nie wiem jak ruszyć a jest wysokie prawdopodobieństwo że pojawi się coś tego typu na egzaminie.

Zmienna losowa X ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej \(\displaystyle{ E(X) = 4}\) i wariancji \(\displaystyle{ D^{2}(X) =3}\). Znajdź gęstość prawdopodobieństwa zmiennej \(\displaystyle{ Y = 2X + 3}\). Ile wynosi wartość \(\displaystyle{ E(Y)}\) i \(\displaystyle{ D^{2}(Y)}\)

Proszę o wskazówki od czego zacząć w tym zadaniu. Nie oczekuję rozwiązania zadania a jedynie naprowadzenia mnie jak skorzystać z danych i co z nimi zrobić.

[yorgin]

Wykorzystaj wzory

\(\displaystyle{ E(aX+b)=aE(X)+b\\
D^2(aX+b)=a^2D^2(X)}\)

Do wyliczenia wielkości. Gęstość można z nich również wyczytać, podstawiając do ogólnej postaci rozkładu normalnego.

[IgorS]

\(\displaystyle{ E(aX+b)=aE(X)+b\\
D^2(aX+b)=a^2D^2(X)}\)

Policzyłem to i wyszło następująco:
\(\displaystyle{ E(Y) = 2 \cdot E(X) + 3\\
E(Y) = 2 \cdot 4 + 3\\
E(Y) = 11}\)

oraz:
\(\displaystyle{ D^2(Y) = 4 \cdot 3\\
D^2(Y) = 12}\)

podstawiłem to do postaci ogólnej rozkładu normalnego
\(\displaystyle{ f(y) = \frac{1}{ \sqrt{D^2(Y)} \sqrt{2 \pi } } \cdot e^{ \frac{-(y-E(Y))^2}{2D^2(Y)} }}\)

i otrzymałem coś takiego:
\(\displaystyle{ f(y) = \frac{1}{ 2\sqrt{3} \sqrt{2 \pi } } \cdot e^{ \frac{-y^2 + 22y - 121}{24} }}\)

Czy to jest końcowy wynik czy coś z tym jeszcze muszę zrobić?

[yorgin]

Wygląda na to, że to jest wszystko. Treść niczego więcej nie wymaga. Wartości i wzory wyszły prawidłowe.