Zmienna losowa o jednostajnym rozkładzie

[IgorS]

Witam.

Rozwiązałem zadanie i chciałbym sprawdzić czy mój tok rozumowania jest poprawny. Oto treść zadania:

Zmienna X ma jednostajną gęstość prawdopodobieństwa w przedziale [-1 , 1]. Znajdź:
a) gęstość prawdopodobieństwa
b) wartość oczekiwaną
c) wariancję oraz odchylenie standardowe
d) dystrybuantę dla \(\displaystyle{ X \in R}\)
e) medianę zmiennej losowej

a) gęstość prawdopodobieństwa:
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} \Rightarrow -1 \le x \le 1 \\ 0 \Rightarrow pozostale \end{cases}}\)

b) wartość oczekiwana:
\(\displaystyle{ E(X) = \int_{-1}^{1} \frac{1}{2} x \mbox{d}x = \frac{ x^{2} }{4} |\right| _{-1}^{1} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0}\)

c) wariancja i odchylenie standardowe:
\(\displaystyle{ E( X^{2} ) = \int_{-1}^{1} \frac{1}{2} x^{2} \mbox{d}x = \frac{ x^{3} }{6} |\right| _{-1}^{1} = \frac{1}{6} - (-\frac{1}{6}) = \frac{1}{3}}\)

\(\displaystyle{ D^{2}(X) = E( X^{2} ) - E(X) = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ D(X) = \sqrt{D^{2}(X)} = \sqrt{ \frac{1}{3} } = \frac{1}{ \sqrt{3} }}\)

d) dystrybuanta:
\(\displaystyle{ F(X) = \int_{-1}^{x} \frac{1}{2} \mbox{d}x = \frac{1}{2}x |\right| _{-1}^{x} = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ F(x) = \begin{cases}0 \ dla \ x \in \left(-\infty, -1 \right) \\ \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \ dla \ x \in \left\langle -1;1\right\rangle \\ \ 1 \ dla \ x\in \left(1, \infty \right) \end{cases}}\)

e) mediana:
\(\displaystyle{ F(X) = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} x = 0 \Rightarrow Me = 0}\)

Czy mógłby ktoś rzucić okiem i sprawdzić te wyniki? Z góry wielkie dziękuje, pozdrawiam.

[lokas]

dystrybuanta i mediana jest źle policzona

[IgorS]

W trakcie gdy pisałeś tego posta poprawiłem rozwiązanie.

W dystrybuancie był błąd i zamiast:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}}\)

było

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2}}\)

Natomiast w przypadku mediany wyszedłem ze złego założenia, czy teraz jest poprawnie?

[lokas]

Mediana teraz dobrze, ale co do dystrybuanty to dalej jest nie do końca dobrze bo masz wyliczone tylko dla \(\displaystyle{ x \in \left\langle -1;1\right\rangle}\), a z pozostałymi \(\displaystyle{ x}\)co będzie?

[IgorS]

Czyli dystrybuanta będzie wyglądać:

\(\displaystyle{ F(x) = \begin{cases}0 \Rightarrow x \in \left(-\infty, 1 \right) \\ \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \Rightarrow x \in \left\langle -1;1\right\rangle \\ 0 \Rightarrow x \in \left(1, \infty \right) \end{cases}}\)

[lokas]

Czyli dystrybuanta będzie wyglądać:

\(\displaystyle{ F(x) = \begin{cases}0 \Rightarrow x \in \left(-\infty, 1 \right) \\ \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \Rightarrow x \in \left\langle -1;1\right\rangle \\ 0 \Rightarrow x \in \left(1, \infty \right) \end{cases}}\)

Raczej tak
\(\displaystyle{ F(x) = \begin{cases}0 \ dla \ x \in \left(-\infty, 1 \right) \\ \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \ dla \ x \in \left\langle -1;1\right\rangle \\ \ 1 \ dla \ x\in \left(1, \infty \right) \end{cases}}\)