Niezależność sigma ciała generowanego przez rodzinę zmiennyc

[matmatmm]

Zastanawiam się, czy zachodzi taka własność.
Niech \(\displaystyle{ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})}\) będzie przestrzenią probablistyczną, \(\displaystyle{ \mathcal{G} \subset \mathcal{F}}\) będzie sigma-ciałem oraz \(\displaystyle{ \{X_{t}:t\in T\}}\) będzie rodziną zmiennych losowych \(\displaystyle{ X_{t}:\Omega\rightarrow\mathbb{R}}\) , \(\displaystyle{ t\in T}\), gdzie każda zmienna jest niezależna od sigma-ciała \(\displaystyle{ \mathcal{G}}\). Czy zachodzi własność, że sigma-ciało \(\displaystyle{ \mathcal{G}}\) jest niezależne od sigma ciała generowanego przez rodzinę tych zmiennych \(\displaystyle{ \sigma(X_{t}:t\in T)}\) ? Napotkałem trudności przy próbie dowodu, gdyż stwierdziłem, że sigma-ciało generowane przez rodzinę zmiennych nie jest sumą mnogościową sigma-ciał generowanych przez poszczególne zmienne.

[Spektralny]

A co jeżeli \(\displaystyle{ \sigma(X_{t}:t\in T)=\mathcal{F}}\)?

[matmatmm]

Wtedy niezależność nie zachodzi poza trywialnym przypadkiem sigma-ciała złożonego ze zbioru pustego i omegi. Tak mi się wydaje. Ale czemu to sigma-ciało miałoby być największym z możliwych?