tożsamość - prawdopodobieństwo sumy zbiorów

[stokrotka1992]

Udowodnić, że dla dowolnych zdarzeń losowych \(\displaystyle{ A, B \in F}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ P\left( A \cup B \cup C\right)=P\left( A\right) +P\left( B\right)+P\left( C\right) - P\left( A \cap B\right)}\)

Czy to powinno być tak:
\(\displaystyle{ P\left( A \cup B \cup C\right)=P\left( A \cup B\right)+P\left( C\right) = P\left( A\right) +P\left( B\right)- P\left( A \cap B\right) +P\left( C\right)}\)?

Ale przecież różne rozbicie sumy świadczy o tym, że zdarzenia \(\displaystyle{ A \cup B}\) oraz \(\displaystyle{ C}\) są niezależne, natomiast zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ B}\) są zależne, jednak nie ma o tym mowy w treści zadania. Ponadto w treści zadania jest napisane "dla dowolnych \(\displaystyle{ A, B \in F}\)" a nie "dla dowolnych \(\displaystyle{ A, B, C \in F}\)" - czy to ma jakieś znaczenie? Bo moim zdaniem w zadaniu jest błąd i ktoś kto je przepisywał zgubił zdarzenie \(\displaystyle{ C}\).

Proszę o pomoc i dobre rozwiązanie, jeżeli moje jest błędne (bo zupełnie nie wiem dlaczego miałoby być poprawne).

[chris_f]

Jeden i drugi zapis jest nieprawidłowy. Dla trzech zdarzeń
\(\displaystyle{ P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)}\)

[stokrotka1992]

No właśnie, ale polecenie brzmi:
Udowodnić, że dla dowolnych zdarzeń losowych \(\displaystyle{ A, B \in F}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ P\left( A \cup B \cup C\right)=P\left( A\right) +P\left( B\right)+P\left( C\right) - P\left( A \cap B\right)}\)

I ja nie wiem jak zrobić to zadanie.

[chris_f]

Coś jest nie tak w treści tego zadania (czegoś brakuje).
Przecież wystarczy wziąć zdarzenie \(\displaystyle{ C}\), które jest np. zawarte w zdarzeniu \(\displaystyle{ A}\).
Wtedy
\(\displaystyle{ P(A\cup B\cup C)=P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}\)
a to nie jest to samo co w Twoim zadaniu \(\displaystyle{ P(A)+P(B){\red + P(C)}-P(A\cap B)}\)

[stokrotka1992]

Ale gdyby zdarzenia \(\displaystyle{ A \cup B}\) oraz \(\displaystyle{ C}\) były takie, że:
\(\displaystyle{ \left( A \cup B\right) \cap C = \emptyset}\), to wtedy można zapisać:
\(\displaystyle{ P\left( A \cup B \cup C\right) = P\left( A \cup B\right) + P\left( C\right)}\)

[chris_f]

Gdyby tak było to wtedy te na czerwono zerowały by się i wszystko by się zgadzało.
\(\displaystyle{ P(A\cup B\cup C)=
P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B) {\red -P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)}}\)

[stokrotka1992]

Edytowałam, bo niezależność dotyczy iloczynu.-- 3 lut 2013, o 16:58 --Czyli gdy te zdarzenia są rozłączne, to wszystko się zgadza?

[chris_f]

Prawie tak, bo jak są rozłączne to są niezależne.