punkty na odcinku

[stokrotka1992]

Wybieramy losowo (niezależnie) \(\displaystyle{ n}\) punktów z odcinka \(\displaystyle{ \left[ 0, b\right]}\). Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że dokładnie \(\displaystyle{ k}\) z tych punktów wpada do odcinka \(\displaystyle{ \left[ a, b\right]}\), \(\displaystyle{ k \le n}\), \(\displaystyle{ a<b}\)?

Proszę bardzo o pomoc.

[chris_f]

Prawdopodobieństwo, że pojedynczy wylosowany punkt trafi do odcinka \(\displaystyle{ [a,b]}\) wynosi
\(\displaystyle{ p=\frac{b-a}{b}}\)
9z prawdopodobieństwa geometrycznego długość przedziału [a,b] przez długość przedziału [0,b].
Teraz doświadczenie to powtarzasz n razy i interesuje Cię prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie k sukcesów.
Schemat Bernoulli'ego
\(\displaystyle{ P_{n.k}={n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}}\)
W miejsce \(\displaystyle{ p}\) wstawiamy wyliczoną wyżej wartość i bawimy się przekształceniami (trochę się to powinno uprościć).

[stokrotka1992]

\(\displaystyle{ P_{n.k}={n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}= {n \choose k} \left( 1- \frac{a}{b} \right)^{k}\left( \frac{a}{b} \right)^{n-k}}\)
Po większych i mniejszych przekształceniach wyszło mi coś takiego, tak powinno być?

[chris_f]

To jest tylko kwestia czy jeden zapis podoba się bardziej od drugiego.

[stokrotka1992]

Dziękuję.