Niech \(\displaystyle{ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})}\) będzie przestrzenią probablistyczną.
Załóżmy, że \(\displaystyle{ X,Y:\Omega\rightarrow\mathbb{R}}\) są zmiennymi losowymi o rozkładach dyskretnych oraz zmienna \(\displaystyle{ X}\) jest skupiona na zbiorze \(\displaystyle{ S_{x}}\).
Oznaczenia:
\(\displaystyle{ P_{Y}(y)=\mathbb{P}(Y=y)}\)
\(\displaystyle{ P_{(X,Y)}(x,y)=\mathbb{P}(X=x,Y=y)}\)
Ponadto niech \(\displaystyle{ h:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}\) będzie dowolną funkcją borelowską taką, że \(\displaystyle{ h(X)}\) jest całkowalna. Wówczas \(\displaystyle{ \mathrm{E}\left( h(X)|\sigma(Y)\right)(\omega)= \sum_{x \in S_{x}}h(x) \frac{P_{(X,Y)}(x,Y(\omega))}{P_{Y}(Y(\omega))}}\)
Prosiłbym o pomoc w przeprowadzeniu dowodu.