Nierówność Jensena dla warunkowej wartości oczekiwanej

[matmatmm]

Niech \(\displaystyle{ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})}\) będzie przestrzenią probablistyczną. \(\displaystyle{ X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}}\) zmienną losową całkowalną, \(\displaystyle{ \phi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}\) funkcją wypukłą, taką, że \(\displaystyle{ \phi(X)}\) jest całkowalna oraz \(\displaystyle{ \mathcal{G} \subset \mathcal{F}}\) będzie sigma-ciałem. Wówczas \(\displaystyle{ \phi\left( \mathrm{E}(X|\mathcal{G})\right) \le \mathrm{E}\left( \phi(X)|\mathcal{G}\right)}\) prawie na pewno.

Czy ktoś mógłby przedstawić dowód albo powiedzieć, gdzie go mogę znaleźć?

[yorgin]

Jest w książce Jakubowski - Sztencel (Wstęp do teorii prawdopodobieństwa), w rozdziale o warunkowej wartości oczekiwanej.

[matmatmm]

Znalazłem i pytam, czy ktoś zna dowód tej własności funkcji wypukłej, z której się tam korzysta.
326086.htm