Zbieżność iloczynu Poissonów
- Mistrz
- Użytkownik
- Posty: 637
- Rejestracja: 10 sie 2009, o 09:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz / Warszawa
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 135 razy
Zbieżność iloczynu Poissonów
Założenia:
\(\displaystyle{ X_n}\) niezależne o rozkładzie \(\displaystyle{ \hbox{Poiss}(n^2)}\)
\(\displaystyle{ M_n = \prod_{k=1}^{n} \frac{X_k}{k^2}}\)
Zadanie:
1. Pokaż, że \(\displaystyle{ M_n}\) to martyngał (Wyszło)
2. Czy jest zbieżny p.n.? (Jest, z twierdzenia o zbieżności nadmartyngału p.n., tylko do czego?)
3. Czy jest zbieżny w \(\displaystyle{ L^2}\)? (Nie mam pojęcia)
Proszę o wskazówki, zwłaszcza co jest granicą
\(\displaystyle{ X_n}\) niezależne o rozkładzie \(\displaystyle{ \hbox{Poiss}(n^2)}\)
\(\displaystyle{ M_n = \prod_{k=1}^{n} \frac{X_k}{k^2}}\)
Zadanie:
1. Pokaż, że \(\displaystyle{ M_n}\) to martyngał (Wyszło)
2. Czy jest zbieżny p.n.? (Jest, z twierdzenia o zbieżności nadmartyngału p.n., tylko do czego?)
3. Czy jest zbieżny w \(\displaystyle{ L^2}\)? (Nie mam pojęcia)
Proszę o wskazówki, zwłaszcza co jest granicą
-
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Zbieżność iloczynu Poissonów
Nie wiem, czy tu się da jakoś łatwo scharakteryzować granicę, może dlatego w punkcie 2. nikt nas o to nie pyta. Za to w punkcie 3. można zwyczajnie policzyć drugi moment \(\displaystyle{ M_{n}}\); o ile się nie mylę, to \(\displaystyle{ \mathbb{E}X_{k}^{2} = k^{2} + k^{4}}\), zatem
\(\displaystyle{ \mathbb{E}M_{n}^{2} = \prod_{k=1}^{n} (1+\frac{1}{k^{2}}),}\)
co oczywiście jest ograniczone, zatem ten martyngał jest zbieżny w \(\displaystyle{ L^{2}}\).
\(\displaystyle{ \mathbb{E}M_{n}^{2} = \prod_{k=1}^{n} (1+\frac{1}{k^{2}}),}\)
co oczywiście jest ograniczone, zatem ten martyngał jest zbieżny w \(\displaystyle{ L^{2}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
Zbieżność iloczynu Poissonów
2. Granicą będzie pewnie zero, co pewnie trzeba pokazać z lematu Borela-Cantelliego: wystarczy, że któraś zmienna się wyzeruje (a każda robi to z dodatnim prawdopodobieństwem) i już całość jest zerem.
-
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Zbieżność iloczynu Poissonów
Jak może zbiegać do zera prawie na pewno, skoro druga norma granicy jest większa niż \(\displaystyle{ 1}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Zbieżność iloczynu Poissonów
Dokładnie tak, jak napisałem. Wyszło, że
\(\displaystyle{ \sup_{n\in \mathbb{N}} \mathbb{E} M_{n}^{2} <\infty,}\)
zatem mamy zbieżność w \(\displaystyle{ L^{2}}\), czyli
\(\displaystyle{ \mathbb{E} \left(\lim_{n\to \infty}M_{n}\right)^{2} = \prod_{n=1}^{\infty} (1+\frac{1}{n^{2}})\ge 1.}\)
\(\displaystyle{ \sup_{n\in \mathbb{N}} \mathbb{E} M_{n}^{2} <\infty,}\)
zatem mamy zbieżność w \(\displaystyle{ L^{2}}\), czyli
\(\displaystyle{ \mathbb{E} \left(\lim_{n\to \infty}M_{n}\right)^{2} = \prod_{n=1}^{\infty} (1+\frac{1}{n^{2}})\ge 1.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Zbieżność iloczynu Poissonów
W tym przypadku dla skończonych iloczynów mamy to z niezależności, a do granicy przechodzimy korzystając z odpowiedniego twierdzenia o zbieżności martyngałów.