Zbieżność iloczynu Poissonów

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
Mistrz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 637
Rejestracja: 10 sie 2009, o 09:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz / Warszawa
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 135 razy

Zbieżność iloczynu Poissonów

Post autor: Mistrz »

Założenia:
\(\displaystyle{ X_n}\) niezależne o rozkładzie \(\displaystyle{ \hbox{Poiss}(n^2)}\)
\(\displaystyle{ M_n = \prod_{k=1}^{n} \frac{X_k}{k^2}}\)
Zadanie:
1. Pokaż, że \(\displaystyle{ M_n}\) to martyngał (Wyszło)
2. Czy jest zbieżny p.n.? (Jest, z twierdzenia o zbieżności nadmartyngału p.n., tylko do czego?)
3. Czy jest zbieżny w \(\displaystyle{ L^2}\)? (Nie mam pojęcia)

Proszę o wskazówki, zwłaszcza co jest granicą
Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Zbieżność iloczynu Poissonów

Post autor: Wasilewski »

Nie wiem, czy tu się da jakoś łatwo scharakteryzować granicę, może dlatego w punkcie 2. nikt nas o to nie pyta. Za to w punkcie 3. można zwyczajnie policzyć drugi moment \(\displaystyle{ M_{n}}\); o ile się nie mylę, to \(\displaystyle{ \mathbb{E}X_{k}^{2} = k^{2} + k^{4}}\), zatem
\(\displaystyle{ \mathbb{E}M_{n}^{2} = \prod_{k=1}^{n} (1+\frac{1}{k^{2}}),}\)
co oczywiście jest ograniczone, zatem ten martyngał jest zbieżny w \(\displaystyle{ L^{2}}\).
Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1567
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

Zbieżność iloczynu Poissonów

Post autor: Adifek »

2. Granicą będzie pewnie zero, co pewnie trzeba pokazać z lematu Borela-Cantelliego: wystarczy, że któraś zmienna się wyzeruje (a każda robi to z dodatnim prawdopodobieństwem) i już całość jest zerem.
Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Zbieżność iloczynu Poissonów

Post autor: Wasilewski »

Jak może zbiegać do zera prawie na pewno, skoro druga norma granicy jest większa niż \(\displaystyle{ 1}\)?
Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1567
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

Zbieżność iloczynu Poissonów

Post autor: Adifek »

No a jak liczysz niby normę granicy?
Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Zbieżność iloczynu Poissonów

Post autor: Wasilewski »

Dokładnie tak, jak napisałem. Wyszło, że
\(\displaystyle{ \sup_{n\in \mathbb{N}} \mathbb{E} M_{n}^{2} <\infty,}\)
zatem mamy zbieżność w \(\displaystyle{ L^{2}}\), czyli
\(\displaystyle{ \mathbb{E} \left(\lim_{n\to \infty}M_{n}\right)^{2} = \prod_{n=1}^{\infty} (1+\frac{1}{n^{2}})\ge 1.}\)
Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1567
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

Zbieżność iloczynu Poissonów

Post autor: Adifek »

A od kiedy to \(\displaystyle{ \mathbb{E} \prod_{i=1}^{\infty}X_{i} = \prod_{i=1}^{\infty}\mathbb{E} X_{i}}\) ?
Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Zbieżność iloczynu Poissonów

Post autor: Wasilewski »

W tym przypadku dla skończonych iloczynów mamy to z niezależności, a do granicy przechodzimy korzystając z odpowiedniego twierdzenia o zbieżności martyngałów.
ODPOWIEDZ