Zbieżność martyngału p.n.

[Mistrz]

Założenia:
\(\displaystyle{ X_n}\) niezależne o rozkładzie \(\displaystyle{ \hbox{Unif}[0,2]}\)
\(\displaystyle{ M_n = \prod_{k=1}^{n} X_k}\)
Teza:
\(\displaystyle{ M_n}\) jest to martyngał
\(\displaystyle{ M_n\to 0 \hbox{ p.n.}}\)
Rozkmina:
Wyszło mi łatwo, że \(\displaystyle{ M_n}\) jest martyngałem, no to skoro przyjmuje tylko wartości dodatnie to jest zbieżny p.n. Ale jak pokazać, że granicą jest \(\displaystyle{ 0}\)?

Tak ogólnie, to czy można jakoś łatwo zgadnąć co ma szanse być granicą martyngału? Kiepsko z moją intuicją, jeśli o to chodzi. Czy to jest oczywiste, że granicą \(\displaystyle{ M_n}\) będzie tu \(\displaystyle{ 0}\)? Dla mnie nie jest.

[Wasilewski]

Chyba naturalnym krokiem, jeśli ma się do czynienia z iloczynem, jest logarytmowanie. Wtedy uzyskasz sumę niezależnych losowych, które szczęśliwie będą całkowalne, a to oznacza, że można wykorzystać mocne prawo wielkich liczb.

[Mistrz]

No to zamiast \(\displaystyle{ M_n}\) zbadajmy zbieżność \(\displaystyle{ \ln M_n}\). Oczywiście jeśli wyjdzie nam \(\displaystyle{ \ln M_n \to -\infty}\), to stąd \(\displaystyle{ M_n \to 0}\).

\(\displaystyle{ \ln M_n = \sum_{k=1}^{n} \ln X_k = n\cdot \frac{\sum_{k=1}^{n} \ln X_k}{n} \approx n\cdot \mathbb{E}\ln X_1 \to -\infty}\), bo \(\displaystyle{ \mathbb{E}\ln X_1 <0}\) ok rozumiem. Dzięki