Rozkład jednostajny / Cov(X,Y)

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
mosonmichal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 31 sty 2013, o 16:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Rozkład jednostajny / Cov(X,Y)

Post autor: mosonmichal »

Witam.
Mam mały problem z zadaniem , nie wiem jak zacząć .

Niech \(\displaystyle{ X , Y}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na
\(\displaystyle{ [0 ,1]}\) Niech \(\displaystyle{ U = min\left\{ X ,Y\right\} , V=max\left\{ X,Y\right\}}\)
Obliczyć \(\displaystyle{ EU , Cov(U,V) .}\)
tometomek91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2959
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 498 razy

Rozkład jednostajny / Cov(X,Y)

Post autor: tometomek91 »

Znajdź najpierw rozkład \(\displaystyle{ U}\):
niech \(\displaystyle{ t>0}\), wtedy:
\(\displaystyle{ P(U<t)=...}\)
mosonmichal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 31 sty 2013, o 16:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Rozkład jednostajny / Cov(X,Y)

Post autor: mosonmichal »

Problem jest taki ,że nie wiem jak go wyznaczyć.
A jak już go znajdę to wartość oczekiwaną z definicji jako całke*x po gęstości ?
I jak się do tego ma kowariancja?
tometomek91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2959
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 498 razy

Rozkład jednostajny / Cov(X,Y)

Post autor: tometomek91 »

No to policzmy
\(\displaystyle{ P(U<t)=P(min(X,Y)<t)=1-P(min(X,Y)>t)}\)
i teraz zauważmy, że \(\displaystyle{ \{ min(X,Y)>t \}= \{ X>t,Y>t \}}\) no więc
\(\displaystyle{ 1-P(min(X,Y)>t)=1-P(X>t)P(Y>t)=1-[(1-P(X<t))(1-P(Y<t))]}\)
i teraz pamiętając o dystrybuancie rozkładu jednostajnego mamy, że dla \(\displaystyle{ t \in [0,1]}\) jest
\(\displaystyle{ P(U<t)=1-(1-t)^2=2t-t^2}\)
dla \(\displaystyle{ t<0}\) jest oczywiście \(\displaystyle{ P(U<t)=0}\) i dla \(\displaystyle{ t>1}\) mamy \(\displaystyle{ P(U<t)=1}\).

Czyli znamy dystrybuantę \(\displaystyle{ U}\) a więc i gęstość: \(\displaystyle{ f(x)=2-2x}\) dla \(\displaystyle{ x \in [0,1]}\). Skoro tak, to łatwo już znaleźć to czego szukamy:
\(\displaystyle{ EU=\int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)dx=\int_{0}^{1}(2x-2x^2)dx=...}\).

Z kowariancją pomyśl sam
mosonmichal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 31 sty 2013, o 16:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Rozkład jednostajny / Cov(X,Y)

Post autor: mosonmichal »

Dzięki wielkie za pomoc w zrozumieniu tego zadania.

A teraz jako ,że forum to ma wnosić walory edukacyjne a nie tylko służyć za
gotowe rozwiązania dodam parę słów od siebie w kwestii uściślenia.

\(\displaystyle{ 1-P(min(X,Y)>t)=1-P(X>t)P(Y>t)}\)

Nie rozumiem a domyślam się ,że iloczyn który powstał wyżej wynika z jakiegoś twierdzenia(???)
Następnie zgodnie z def. dystrybunaty obliczyłeś \(\displaystyle{ (t-a)/(b-a)}\) gdzie \(\displaystyle{ a , b}\)
krańce przedziału odpowiedni \(\displaystyle{ 0 i 1}\) . Podstawiając do wzoru na w.w iloczyn wyszło
\(\displaystyle{ 1-(1-t)*(1-t)}\)

Dalsza część to skorzystanie z def. dystrybuanty i obliczenie gęstości czyli pochodnej.
I teraz mój pomysł na kowariancje to wyznaczyć w podobny sposób rozkład dla V i obliczyć ją ze wzoru
\(\displaystyle{ Cov(U,V)=EUV-EU*EV}\)-- 31 sty 2013, o 19:39 --To twierdzenie dla iloczynu to chyba z niezależności zdarzeń ?
A co do kowariancji to jak potem obliczyć EUV ? Potraktować to jak rozkład łączny U+V i obliczyć dla niego gęstość a następnie wartość oczekiwaną?
tometomek91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2959
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 498 razy

Rozkład jednostajny / Cov(X,Y)

Post autor: tometomek91 »

mosonmichal pisze: \(\displaystyle{ 1-P(min(X,Y)>t)=1-P(X>t)P(Y>t)}\)
Ta równość wzięła się stąd, że te dwa zbiory \(\displaystyle{ \{ min(X,Y)>t \}}\) i \(\displaystyle{ \{X>t,Y>t \}}\) są równe, więc ich pradopodobieństwa też. Zatem z niezależności \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) jest
\(\displaystyle{ P(min(X,Y)>t)=P(X>t,Y>t)=P(X>t)P(Y>t)}\)
no czyli w/w wzór.

Dalej jest wszystko zrozumiałe.

Co do kowariancji, to właśnie tak jak piszesz. Problem może pojawić się w policzeniu \(\displaystyle{ EUV}\). Zobaczmy czym jest \(\displaystyle{ UV}\). Jeśli \(\displaystyle{ X>Y}\) to \(\displaystyle{ UV=XY}\), a jeśli \(\displaystyle{ X<Y}\), to znów \(\displaystyle{ UV=XY}\), czyli tak naprawdę to musimy policzyć \(\displaystyle{ EXY}\). Ale wiemy, że \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne, więc znamy gęstość wektora \(\displaystyle{ (X,Y)}\) (jest to iloczyn gęstości X i Y) - nazwijmy tę gęstość wektora \(\displaystyle{ f(x,y)}\). Wtedy \(\displaystyle{ EXY=\int_R \int_R xy f(x,y) dxdy}\) i wstawić do wzoru.

-- 31 sty 2013, o 21:17 --

hmm.. już po zdaniu "Ale wiemy, że \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne, więc..." tu można skończyć tak: ...\(\displaystyle{ EXY=EXEY}\)
mosonmichal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 31 sty 2013, o 16:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Rozkład jednostajny / Cov(X,Y)

Post autor: mosonmichal »

Podsumowując to (nie wiem czy dobrze zrozumiałem) \(\displaystyle{ EXY = EUV a EXY = EX*EY}\)
gdzie \(\displaystyle{ EX}\) w tym wypadku równa się \(\displaystyle{ EY = 1/2}\) ?
tometomek91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2959
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 498 razy

Rozkład jednostajny / Cov(X,Y)

Post autor: tometomek91 »

Dokładnie tak.
ODPOWIEDZ