Zbieżność dystrybuant i standardowy rozkład normalny

[fon_nojman]

Niezależne zmienne losowe \(\displaystyle{ X_1,X_2,\ldots,X_n}\) mają rozkład normalny \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1).}\) Zdefiniujmy nową zmienna losową

\(\displaystyle{ S_n=X_1 X_2+X_2 X_3+\ldots+X_n X_{n+1}.}\)

Pokazać, że

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}P(\frac{S_n}{\sqrt{n}} \le t)=\Phi(t),}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ t\in \mathbb{R}}\) gdzie \(\displaystyle{ \Phi}\) to dystrybuanta rozkładu \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1).}\)