Wartośc oczekiwana, dystrybuanta funkcji

[pocahontas005]

Witam, prosze o pomoc w poniższych zadaniach. Przygotowuje się do egzaminu i bedę bardzo wdzięczna za pomoc!

ZADANIE 1

\(\displaystyle{ x \ \ \ -1 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ 1 \ \ \ \ \ 2}\)

\(\displaystyle{ p \ \frac{k+1}{10} \ \frac{k-1}{10} \ \frac{k^{2}}{10} \ \frac{k}{10}}\)

a) Wyznaczyć k
\(\displaystyle{ \frac{k+1}{10} + \frac{k-1}{10} + \frac{k^{2}}{10} + \frac{k}{10}=1}\)
\(\displaystyle{ k-1+k+1+k ^{2}+k=10}\)
\(\displaystyle{ k(3+k)=10}\)
\(\displaystyle{ 3+k=10}\)
\(\displaystyle{ k=7}\)
tak?

b) E(x)


ZADANIE 2

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \frac{1}{3 } \ \ \ \ \ \text{dla } -1<x<0 \\Cx ^{2} \ \ \ \text{dla } 0 \le x \le 1 \\0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{dla }pozostale \end{array}}\)

Obliczyć C oraz F(X)

C:
\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{-1} 0 dx + \int_{-1}^{0} \frac{1}{3} dx + \int_{1}^{0} cx ^{3} dx + \int_{1}^{ \infty } 0 dx=1}\)


F(x):

\(\displaystyle{ dla x<-1}\)
\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{1} 0 dt+ \int_{-1}^{x} 0 dt=0}\)

\(\displaystyle{ dla -1<x<0}\)
\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{1} 0 dt+ \int_{-1}^{x} \frac{1}{3} dt=...}\)

\(\displaystyle{ dla 0 \le x \le <1}\)
\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{1} 0 dt+ \int_{-1}^{0} \frac{1}{3} dt + \int_{0}^{x} ct ^{3} =...}\)

Prosze o sprawdzenie czy dobrze rozpisałam całki.

ZADANIE 3

Zmienna losowa ma rozkład normalny o \(\displaystyle{ m=3}\) i \(\displaystyle{ \partial =2}\)
Czy zmienna "średnia z 10 element. próby" wylosowanej z tej populacji ma wariancję większą niż wartość zamienna x?

Prosze o jakieś wskazówki.

[lukasz1804]

Zadanie 1.

a) Z równości \(\displaystyle{ k(3+k)=10}\) nie wynika, że \(\displaystyle{ 3+k=10}\), lecz \(\displaystyle{ k=-5}\) lub \(\displaystyle{ k=2}\). Ponieważ jednak wartości prawdopodobieństwa są liczbami z przedziału \(\displaystyle{ \langle 0,1\rangle}\), to musi być \(\displaystyle{ k=2}\).

b) \(\displaystyle{ EX=(-1)\cdot\frac{3}{10}+0\cdot\frac{1}{10}+1\cdot\frac{4}{10}+2\cdot\frac{2}{10}}\)

Zadanie 2.

Przy obliczaniu \(\displaystyle{ C}\) popraw funkcję podcałkową w trzeciej całce.
Dalej popraw przedziały określoności dystrybuanty i granice całkowania.

[pocahontas005]

A mógłbyś mi rozpisać jak liczyłeś to k i wyszło 5?

Kurcze, a mogę jeszcze prosić o poprawienie tych granic całkowania, bo w sumie tylko o nie mi chodzi, dalej już sobie poradzę.

Dziękuję za pomoc i odpowiedź!

[lukasz1804]

\(\displaystyle{ k(3+k)=10\iff k^2+3k-10=0\iff k^2+5k-2k-10=0\iff k(k+5)-2(k+5)=0\iff (k+5)(k-2)=0\iff(k=-5\vee k=2)}\)

\(\displaystyle{ F(x)=\begin{cases}\int_{-\infty}^x0\mbox{d}t\ &\mbox{dla}\ x\le -1 \\ \int_{-\infty}^{-1}0\mbox{d}t+\int_{-1}^x\frac{1}{3}\mbox{d}t\ &\mbox{dla}\ -1<x\le 0 \\ \int_{-\infty}^{-1}0\mbox{d}t+\int_{-1}^0\frac{1}{3}\mbox{d}t+\int_0^xCt^2\mbox{d}t\ &\mbox{dla}\ 0<x\le 1 \\ \int_{-\infty}^{-1}0\mbox{d}t+\int_{-1}^0\frac{1}{3}\mbox{d}t+\int_0^1Ct^2\mbox{d}t+\int_1^x0\mbox{d}t\ &\mbox{dla}\ x>1 \end{cases}}\)

Oczywiście trzeba wcześniej wyznaczyć stałą \(\displaystyle{ C}\):

\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{-1} 0\mbox{d}t + \int_{-1}^{0} \frac{1}{3}\mbox{d}t + \int_{1}^{0} Cx ^2\mbox{d}t + \int_{1}^{ \infty } 0\mbox{d}t=1}\)

Tu poprawiłem tylko \(\displaystyle{ Cx^3}\) na \(\displaystyle{ Cx^2}\) w jednej z całek.