poprawność wzorów

[Studentka_mat]

Chciałabym upewnić się, czy te wzory są poprawne
\(\displaystyle{ 1. P(A \cup B')=P(A)-P(A \cap B)\\
2.P(A \cap B')=P(A)-P(A \cap B)\\
3. P(A \cup B)'=P(A')-P(A \cap B)}\)

[mat_61]

1. Nie
2. Tak
3. Nie

Możesz np. narysować sobie diagram Venna

[Studentka_mat]

Czy możesz powiedzieć jak powinny wyglądać poprawnie te wzory? Nie umiem zastosować diagramu Venna.

[mat_61]

Najlepiej będzie jak sama to zrozumiesz. Narysuj sobie dwa kółka jako zbiory \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ B}\), np. tak: . Załóżmy, że ten prostokąt w którym narysowane są te kółka to cała przestrzeń zdarzeń elementarnych czyli \(\displaystyle{ \Omega}\).

Który obszar oznacza wówczas \(\displaystyle{ A \cup B'}\) ?

Dla jednoznaczności określeń postów załóżmy, że kolejne pokolorowane obszary, patrząc od lewej, mają kolor:
- pomarańczowy (zbiór \(\displaystyle{ A}\))
- granatowy (zbiór \(\displaystyle{ A \cap B}\))
- niebieski (zbiór \(\displaystyle{ B}\)
- biały (zbiór \(\displaystyle{ \Omega}\)).

[Studentka_mat]

W 3 wzorze zrobiłam pomyłkę przepisując powinno być tak:
\(\displaystyle{ P(A \cup B)'=P(A')-P(A' \cap B)}\)
Czy to poprawnie?

Co do przypadku \(\displaystyle{ A \cup B'}\) to będziemy mieć obszar pomarańczowy i biały tak?

[mat_61]

Teraz wzór jest 3. jest OK.

Co do przypadku \(\displaystyle{ A \cup B'}\) to będziemy mieć obszar pomarańczowy i biały tak?

A granatowy?

[Studentka_mat]

granatowy też.
Więc jak powinien wyglądać wzór?
\(\displaystyle{ A \cup B'=B'+A-A \cap B}\)

[mat_61]

Raczej tak (pomijając nawet, że w Twoim zapisie masz pomieszane sumy zbiorów z dodawaniem):

\(\displaystyle{ P(A \cup B')=P(B')+P(A \cap B)}\)

Oczywiście mogą być także inne poprawne wzory.