Funkcje charakterystyczne

[bartek118]

Witam

Mam problem z zadaniem, bardzo proszę o pomoc:

Niech \(\displaystyle{ X_1, X_2, ...}\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie zadanym przez funkcję charakterystyczną o okresie \(\displaystyle{ 2 \pi}\) zdefiniowaną na przedziale \(\displaystyle{ \left[ -\pi, \pi\right]}\) wzorem \(\displaystyle{ \varphi (t) = 1 - |t|}\) dla \(\displaystyle{ |t| \leq 1}\), zaś \(\displaystyle{ \varphi (t) = 0}\) dla \(\displaystyle{ 1 \leq |t| \leq \pi}\). Niech \(\displaystyle{ S_n = X_1 + ... X_n}\). Wyznacz funkcję charakterystyczną zmiennej losowej \(\displaystyle{ \frac{S_n}{n}}\). Znajdź granicę według rozkładu ciągu \(\displaystyle{ \frac{S_n}{n}}\).

Jeszcze raz bardzo proszę o pomoc.

[Sylwek]

\(\displaystyle{ X_i}\) są niezależne, \(\displaystyle{ S_n = a_1 X_1 + \ldots + a_n X_n}\), wtedy \(\displaystyle{ \varphi_{S_n}(t) = \varphi_{X_1}(a_1 t) \ldots \varphi_{X_n}(a_n t)}\), co nam kończy pierwszą część.

Dla ustalonego \(\displaystyle{ t}\) od pewnego momentu mamy \(\displaystyle{ |\frac{t}{n}|<1}\). I teraz trzeba zbadać zbieżność punktową ciągu funkcji charakterystycznych zmiennych \(\displaystyle{ \frac{S_n}{n}}\). Jaki to ma związek ze zbieżnością według rozkładu?

[bartek118]

Zbieżność wg rozkładu mamy wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg funkcji charakterystycznych jest zbieżny do funkcji charakterystycznej zmiennej granicznej.

OK, będę miał funkcję charakterystyczną zmiennej graniczną i teraz - jak dobrać się do tej zmiennej? Tj. Czy damy radę wyznaczyć jej gęstość np.?

[Sylwek]

W ogólności to nie jest takie proste. A jaki wynik Ci wychodzi? Widzisz powiązania wyliczonej granicznej funkcji charakterystycznej (w sensie zbieżności punktowej) z rozkładem Cauchy'ego (jego funkcją charakterystyczną)?