zmienna losowa

[murfy]

Niech \(\displaystyle{ \left( \Omega, F, P\right)}\) będzie przestrzenia probabilistyczną i \(\displaystyle{ A, B \in F}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ X: \Omega \rightarrow R}\) określona wzorem
\(\displaystyle{ X\left( \omega\right) = \begin{cases} 2, \omega \in A \\ 1, \omega \in B \\ 0, \omega \not\in A \cup B \end{cases}}\) jest zmienną losową.
Bardzo proszę o pomoc i jakieś konkretne wyniki a nie wskazówki odnośnie definicji. Z góry dziękuję.

[szw1710]

Zmienna losowa jest funkcją mierzalną. A więc musimy mieć, że dla każdego \(\displaystyle{ a\in\RR}\) zbiór \(\displaystyle{ \{\omega:X(\omega)<a\}}\) jest zdarzeniem.

Np. dla \(\displaystyle{ a\in(1,2]}\) dostaniemy

\(\displaystyle{ X(\omega)<a\iff X(\omega)=1\vee X(\omega)=0\iff \omega\in B\cup\left(X\setminus(A\cup B)=B\cup \left(X\setminus A)\cap(X\setminus B)\right)}\)

Zbiory \(\displaystyle{ B}\), \(\displaystyle{ X\setminus A}\) oraz \(\displaystyle{ X\setminus B}\) są zdarzeniami z definicji sigma-ciała (zdarzenia tworzą sigma-ciało). SUma i część wspólna zdarzeń są zdarzeniami też z własności sigma-ciała.

Rozważ pozostałe wartości \(\displaystyle{ a}\). Do pokazu wybrałem możliwość nie najbardziej trywialną. Posłuż się tym wzorem.

[murfy]

Wyszło mi tak:
1)\(\displaystyle{ a \in \left( -\infty, 0\right]}\)
\(\displaystyle{ \{\omega:X(\omega)<a\}=\emptyset \in F}\)
2)\(\displaystyle{ a \in \left( 0,1\right]}\)
\(\displaystyle{ \{\omega:X(\omega)<a\}=A' \cap B' \in F}\) (\(\displaystyle{ A, B \in F}\), zatem \(\displaystyle{ A', B' \in F}\) oraz iloczyn \(\displaystyle{ A' \cap B' \in F}\))
3)\(\displaystyle{ a \in \left( 1,2\right]}\)
\(\displaystyle{ \{\omega:X(\omega)<a\} = \left( A' \cap B'\right) \cup B = \left(A' \cup B \right) \cap \left( B' \cup B\right)=\left( A' \cup B\right) \cap \Omega = A' \cup B \in F}\)
4)\(\displaystyle{ a \in \left( 2,\infty\right)}\)
\(\displaystyle{ \{\omega:X(\omega)<a\}=A \cup B \cup \left( A' \cap B' \right) = A \cup \left[ \left( B \cup A'\right) \cap \left( B \cup B'\right) \right] = A \cup \left[ \left( B \cup A'\right) \cap \Omega \right] = A \cup \left( B \cup A'\right) =A \cup B \cup A' = B \cup \Omega = \Omega \in F}\)

Dobrze?:)
Dziękuję bardzo za pomoc - napisałeś prosto i na temat wraz z przykładem, nie pytając czy znam definicję zmiennej losowej

[szw1710]

OK. W 4) nie trzeba tak się rozwodzić, bo chodzi o wszystkie wartości \(\displaystyle{ X}\), a więc trywialnie mamy \(\displaystyle{ \Omega}\).

[marina92]

Za to rozwiązanie - 0 punktów na kolokwium.
Proszę o podanie prawidłowego rozwiązania.
I co w przypadku, gdy A i B nie są rozłączne, tzn \(\displaystyle{ A \cap B \neq \emptyset}\)??

[szw1710]

Mierzalność można uzasadnić jeszcze prościej. Otóż Twoja funkcja jest funkcją prostą. A takie określone na podziałach składających się ze zbiorów mierzalnych są mierzalne.

Mamy tu \(\displaystyle{ X=2\chi_A+\chi_B}\). Każdy składnik tej sumy jest funkcją mierzalną, bo te zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) są mierzalne. Kombinacja liniowa funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną.

Żeby w ogóle ta definicja była dobra, musimy założyć, że \(\displaystyle{ A\cap B=\emptyset}\). Tego nie napisałaś, ale rozumie się samo przez się. Może brak tego założenia i komentarza, dlaczego jest potrzebne, prowadzący zdyskwalifikował.

Nie widzę niczego zdrożnego w uzasadnieniu mierzalności funkcji bezpośrednio z definicji.

[marina92]

Może powinnam zapisać:
dla \(\displaystyle{ t \in \left( 0,1\right]}\)
\(\displaystyle{ \{\omega:X(\omega)<t\}=\left\{ \omega: \omega \in A' \cap B'\right\} \in F}\)
Tak będzie poprawnie? Może o zapis chodzi, chyba że faktycznie za brak założenia od razu zadanie na 0.

[szw1710]

O to pytaj już prowadzącego. Najbardziej podoba mi się jednak rozwiązanie z funkcją prostą, które podałem Ci wczoraj. Nie wiem czemu na to nie wpadłem od razu.