urna i kule- rozkład

[Studentka1992]

Mam takie zadanie:
Urna zawiera \(\displaystyle{ 2}\) kule białe i \(\displaystyle{ 4}\) czarne. Wylosowano \(\displaystyle{ 3}\) kule. Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zmienna losową wyrażająca liczbę kul czarnych wśród wylosowanych. Znaleźć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) oraz wykreślić jej dystrybuantę. Wyznaczyć \(\displaystyle{ EX,
D^{2}(X), \ D(X)}\).

Wiem że zmienna losowa może przyjmować wartości \(\displaystyle{ {1, \ 2, \ 3}}\). I że zmienna losowa ma rozkład dwumianowy. Mam też \(\displaystyle{ n=3, \ p=\frac{4}{6}, \ q=\frac{2}{6}}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) to prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej(parwdop. sukcesu)

Korzystając z tego, że \(\displaystyle{ P[X=k]= {n\choose k}p^{k}q^{n-k}}\), obliczyłam:

\(\displaystyle{ P[X=1]=\frac{2}{9}}\)

\(\displaystyle{ P[X=2]=\frac{4}{9}}\)

\(\displaystyle{ P[X=3]=\frac{8}{27}}\)

I mam problem ponieważ prawdopodobieństwa nie sumują mi się do \(\displaystyle{ 1}\) więc nie mam rozkładu. Czy ktoś może powiedzieć mi gdzie jest błąd?

[tometomek91]

Bo my nie zwracamy kul po wylosowaniu, więc nie jest to rozkład Bernoulliego, bo p jest zmienne po każdym losowaniu.

[Studentka1992]

To jaki to będzie rozkład?

[tometomek91]

No jakie jest prawdopodobieństwo, że wybierzemy jedną czarną z tej urny, no?

[matpol]

Dlaczego uważasz, że musi to być konkretny rozkład. Od razu widać, że jest to rozkład dyskretny, czyli potrzebujesz tabelki dla \(\displaystyle{ x_{i}, p_{i}}\)
Zmienna losowa przyjmuje wartości \(\displaystyle{ {0,1,2,3}}\) .
Losujesz 3 kule, a masz 2 białe i 4 czarne. Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) wyraża możliwości wylosowania 3 czarnych kul . Pomyśl jakie masz możliwości? (2 kule białe, 1 czarna;1 kula biała, 2 czarne,; 0 kul białych i 3 czarne). Widać, że zm. losowa nie przyjmie wartości 0 ( bo nie może być 3 kul białych. Potraktuj to kombinacją bez powtórzeń , tak samo wylicz wszystkie możliwości i masz w ten sposób gotową całą tabelkę. Reszta idzie już bez problemu .

[tometomek91]

Zmienna losowa przyjmuje wartości \(\displaystyle{ {0,1,2,3}}\) .

Zero nie przyjmie

[matpol]

W dalszej części rozwiązania jest napisane, że 0 nie przyjmie.

[tometomek91]

Nie czytałem dalej, sorki