Twierdzenie de Moivre'a-Laplace'a

[AsiR]

Załóżmy, że przy składaniu książki w drukarni każda litera ma prawdopodobieństwo
0.0001, że zostanie złożona błędnie. Po złożeniu książki szpalty czyta korektor,
który znajduje każdy błąd z prawdopodobieństwem 0.5. Znaleźć prawdopodobieństwo,
że w książce o stu tysiącach znaków drukarskich pozostaną po korekcie nie więcej niż
dwa błędy.

\(\displaystyle{ x_{i} = \begin{cases} 1 p=0.5 \cdot 0.0001 = 0.00005\\0 = 1-p = 1 - 0.5 \cdot 0.0001=0.99995\end{cases} \\\\
n = 100000\\\\
np = \frac{5 \cdot 100000}{100000} =5\\\\
\sqrt{np(1-p)} = \sqrt{5 \cdot 0.99995} = 2,23601208\\\\
P( \frac{S _{n} - np }{ \sqrt{np(1-p)} } < 2) = /Phi(2,23612388) = 0.98713}\)
Czyli prawdopodobieństwo, że po całym procesie będą nie więcej niż dwa znaki błędne to 0.98713
Poprawnie? Może ktoś sprawdzić?

[acmilan]

No niestety to nie jest dobrze. Chcesz policzyć:

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(S_{n}\leq 2)=\mathbb{P}\left( \frac{S _{n} - np }{ \sqrt{np(1-p)} } \leq \frac{2 - np }{ \sqrt{np(1-p)} }\right)=\mathbb{P}\left( \frac{S _{n} - np }{ \sqrt{np(1-p)} } \leq -1,34\right)\approx}\)
\(\displaystyle{ =\Phi(-1,34)\approx 0,09}\)

[AsiR]

16.7. Wśród ziaren pszenicy znajduje się 0.2% ziaren chwastów. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że wśród wybranych losowo tysiąca ziaren znajdują się co najmniej trzy
ziarna chwastów?

\(\displaystyle{ x_{i} = \begin{cases} 1 p=0.002 \\\\0 = 1-p =0.998\end{cases} \\\\
n = 1000\\\\
np = 2\\\\
\sqrt{np(1-p)} = \sqrt{2 \cdot 0.998} = 1.41279\\\\
P(S _{n} \ge 3 ) = P( \frac{S _{n} - np}{ \sqrt{np(1-p)} } \ge \frac{3-2}{ \sqrt{2 \cdot (0.998)} } ) \approx \Phi(1.58436144) \approx 0.94}\)
Teraz jest dobrze?
BTW co by było gdyby nierówność była ostra tzn. gdyby np. zamiast co najmniej trzy było więcej niż trzy. Liczyło by się tak samo?

[acmilan]

Prawie dobrze. Powinno Ci wyjść \(\displaystyle{ 1-\Phi(0,633)\approx 0,262}\).

Zauważ że masz nierówność w drugą stronę, musisz ją odwrócić, żeby obliczać z dystrybuanty.

Tak, czy ostra czy nieostra to nie ma znaczenia w tym przypadku, bo rozkład normalny jest ciągły.

[AsiR]

Ponieważ \(\displaystyle{ S _{n} \ge 3}\) to liczymy z przypadku odwrotnego i dlatego \(\displaystyle{ 1 - \Phi(0.633)}\) Dobrze zrozumiałem?

[acmilan]

Ponieważ liczymy prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ \mathbb{P}(S_{n} \ge 3)=1-\mathbb{P}(S_{n} < 3)=1-F_{S_{n}}(3)}\)