Funkcja gęstości prawdopodobieństwa

[Naklanty]

Witam
Mam pytanie co do poniższego zadania:

Dana jest funkcja dwóch zmiennych w określonych obszarach:
\(\displaystyle{ f(x,y) = \begin{cases} c & \textdla } 0 \le x \le 1,0 \le y \le 1\\c & \text{dla } 2 \le x \le 3,2 \le y \le 3\\0 & \text{poza przedziałami}\end{cases}}\)
Dla jakiej wartości c, funkcja ta jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa XY? Wyznaczyć
dystrybuantę i zależność X i Y.

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \int_{0}^{1}c\; \text{d}x\,\text{d}y + \int_{2}^{3} \int_{2}^{3}c\; \text{d}x\,\text{d}y = 2c = 1}\)
Obliczyłem wartość \(\displaystyle{ c = 0.5}\)

Jednak później wartość \(\displaystyle{ W(X)}\) wyniosła wartość ujemną więc gdzieś popełniłem i chciałbym się spytać czy czasem nie zrobiłem tego na samym początku obliczając złą wartość \(\displaystyle{ c}\).

[Adifek]

Nie wiem, czym dla Ciebie jest \(\displaystyle{ W(X)}\), ale stała jest dobrana dobrze

[Naklanty]

\(\displaystyle{ W(X)}\) to dla mnie Wariancja od X

[Adifek]

pokaż jak liczysz

[Naklanty]

W każdym razie wyznaczyłem potem \(\displaystyle{ f(x)}\)
\(\displaystyle{ f(x) = \int_{0}^{1} \frac{1}{2}dy + \int_{2}^{3} \frac{1}{2}dy = 1}\)
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 1 \ dla \ 0 \le x \le 1\\1 \ dla \ 2 \le x \le 3\\0 \ poza \ przedziałami\end{cases}}\)
i potem
\(\displaystyle{ E(X) = \int_{ -\infty }^{\infty }xf(x)dz = \int_{0}^{1}xdx + \int_{2}^{3}xdx = 3}\)
\(\displaystyle{ E( X^{2})= \int_{0}^{1} x^{2}dx + \int_{2}^{3} x^{2}dx = \frac{20}{3}}\)
\(\displaystyle{ W(X) = E( X^{2}) - E^{2}(X) = -\frac{7}{3}}\)

[Adifek]

Dla jakiej wartości c, funkcja ta jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa XY?

Chcesz rozkład iloczynu, czy wektora?

Zauważ, że zmienna wielowymiarowa nie ma wariancji, tylko macierz kowariancji = jej "wariancja"...