Element awaryjny

[Vaina88]

Element ulega awarii w losowej chwili X \(\displaystyle{ (X \ge 0)}\) przy czym prawdopodobieństwo, że zapsuje się w przedziale czasu \(\displaystyle{ [t,t+\Delta]}\) pod warunkiem, że nie uległ awarii do chwili t jest przy małych \(\displaystyle{ \Delta}\) wielkością wprost proporcjonalną do \(\displaystyle{ \Delta}\), tzn. istenieje takie \(\displaystyle{ \lambda>0}\) dla którego \(\displaystyle{ P(t \le X \le t+\Delta|X \ge t)=\lambda\Delta+o(\Delta)}\), gdzie \(\displaystyle{ o(\Delta)}\) oznacza wielkość zmierzającą do zera szybciej niż \(\displaystyle{ \Delta}\). Pokazać że X ma rozkład wykładniczy

[janusz47]

Z określenia symbolu Landau'a
\(\displaystyle{ \lim_{\Delta \to 0} \frac{o(\Delta t)}{\Delta t} = 0.}\)

Prawdopodobieństwo nie zepsucia się w czasie \(\displaystyle{ \Delta T}\) jest równe
\(\displaystyle{ 1 - \lambda \cdot \Delta t - o(\Delta t)}\)

Niech \(\displaystyle{ P(t)}\) oznacza prawdopodobieństwo, że urządzenie nie ulegnie awarii do chwili \(\displaystyle{ t.}\)
Na mocy prawdopodobieństawa iloczynu dwóch zdarzeń niezależnych mamy
\(\displaystyle{ P(t + \Delta t)= P(t)( 1 - \lambda \cdot \Delta t - o(\Delta t))}\)
\(\displaystyle{ \frac{P(t + \Delta t) - P(t)}{\Delta t} = -\lambda P(t) - \frac{o(\Delta t)}{\Delta t}P(t)}\) (1)
Granica prawej strony równania (1) istnieje, gdy \(\displaystyle{ \Delta t \rightarrow 0}\)
więc
\(\displaystyle{ \lim_{\Delta t \to 0}\frac{P(t + \Delta t) - P(t)}{\Delta t} = -\lambda P(t) - \lim_{\Delta t \to 0}\frac{o(\Delta t)}{\Delta t}P(t).}\)
\(\displaystyle{ \lim_{\Delta t \to 0} \frac{P(t + \Delta t) - P(t)}{\Delta t} = -\lambda P(t) - \frac{o(\Delta t)}{\Delta t}P(t).}\)
Otrzymaliśmy równanie różniczkowe
\(\displaystyle{ P'(t) = -\lambda P(t)}\)
Rozwiązaniem ogólnym tego równania jest funkcja
\(\displaystyle{ P(t) = Ce^{-\lambda t}}\) (proszę sprawdzić.)
Prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ F(t)}\) zdarzenia, że urządzenie ulegnie awarii po czasie niedłuższym niż \(\displaystyle{ t}\)
\(\displaystyle{ F(t) = 1 -P(t) = 1 -Ce^{-\lambda t}, \ t \geq 0}\)
\(\displaystyle{ F(t) = 0, \ t < 0}\)
Funkcja \(\displaystyle{ F}\) jest dystrybuantą zmiennej losowej \(\displaystyle{ T}\) przyjmującej wartosci nieujemne, więc \(\displaystyle{ 1 - C = 0, \ C = 1}\)
Dysrybuanta zmiennej losowej \(\displaystyle{ T}\)
\(\displaystyle{ F(t) = 1 -e^{-\lambda t}, \ t \geq 0}\)
\(\displaystyle{ F(t) = 0, \ t < 0}\)
Gęstość:
\(\displaystyle{ f(t) = F'(t) = \lambda e^{-\lambda t}, \ t \geq 0,}\)
\(\displaystyle{ f(t) = 0, \ t < 0.}\)
Otrzymaliśmy gestość i dystrybuantę rozkładu wykładniczego, a to mieliśmy udowodnić.

[Vaina88]

Serdecznie dziękuję